A área limitada pela elipse
de equação
pode ser calculada pela integral de linha (com
percorrida no sentido anti-horário)
Passo 1
O enunciado pede a área do interior da elipse
usando uma integral de linha ao longo de
orientada no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que, para uma curva fechada
e um campo
,
onde
é a região interna a
.
Passo 2
Analisamos
. Aqui
e
. Logo
Pelo Teorema de Green,
ou seja, essa integral de linha dá exatamente a área desejada.
Passo 3
Verificamos
. Aqui
e
, de modo que
Assim
logo essa integral vale
vezes a área, não a própria área.
Passo 4
Por fim,
é a integral de
ao longo de uma curva fechada, e portanto
Resposta
A área é dada por
.