A área limitada pela elipse E \subset \mathbb{R}^{2} de equação x^{2}+5 y^{2}=1 pode ser calculada pela integral de linha (com E percorrida no sentido anti-horário)
\int_{E}-x d y+y d x
\int_{E} x d y
\int_{E} x d x+y d y

Passo 1

O enunciado pede a área do interior da elipse \{(x,y)\mid x^{2}+5y^{2}=1\} usando uma integral de linha ao longo de E orientada no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que, para uma curva fechada C e um campo (P,Q),
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Analisamos \displaystyle\oint_{E} x\,dy. Aqui P(x,y)=0 e Q(x,y)=x. Logo
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial x}(x)-0=1.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{E}x\,dy =\iint_{D}1\,dA =\text{Área}(D),Á
ou seja, essa integral de linha dá exatamente a área desejada.

Passo 3

Verificamos \displaystyle\oint_{E}\bigl(-x\,dy+y\,dx\bigr). Aqui P=y e Q=-x, de modo que
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial x}(-x)-\tfrac{\partial}{\partial y}(y) =-1-1=-2.
Assim
\oint_{E}(y\,dx - x\,dy) =\iint_{D}(-2)\,dA =-2\,\text{Área}(D),Á
logo essa integral vale -2 vezes a área, não a própria área.

Passo 4

Por fim, \displaystyle\oint_{E}(x\,dx+y\,dy) é a integral de d\bigl(\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\bigr) ao longo de uma curva fechada, e portanto
\oint_{E}d\Bigl(\tfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\Bigr)=0.

Resposta

A área é dada por \displaystyle\int_{E}x\,dy.

Exercícios relacionados