1-
Qual das seguintes 1 -formas diferenciáveis no círculo
não é exata?
(Lembre: uma 1-forma diferenciável
é dita exata se
para alguma função diferenciável
.)
○
(-)
-
○
-
não é exata?
(Lembre: uma 1-forma diferenciável
para alguma função diferenciável
(-)
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das 1-formas dadas em
não é exata. Como é uma curva fechada que não é simplesmente conexa, vale o fato de que uma 1-forma diferenciável
em
é exata se, e somente se, sua integral ao longo do gerador básico de
(isto é, o próprio círculo) for zero.
não é exata. Como
Passo 2
Parametrizamos o círculo por
Então
e para qualquer 1-forma
em
temos
Passo 3
Calculamos a integral de cada forma:
- Para
:
- Para
:
- Para
, e , as funções integrandas são combinações de e com média nula em , logo
Passo 4
Das cinco 1-formas, apenas
tem período (integral ao longo de
) diferente de zero, portanto é a única que não é exata em
.