1-
Qual das seguintes 1 -formas diferenciáveis no círculo
S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}
não é exata?
(Lembre: uma 1-forma diferenciável \omega é dita exata se
\omega=d f
para alguma função diferenciável f: S^{1} \rightarrow \mathbb{R}.)
d x
(-) y d x-x d y
  • y d x+x d y
x d x+y d y
  • y^{2} d x-x^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das 1-formas dadas em
\;S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}
não é exata. Como S^1 é uma curva fechada que não é simplesmente conexa, vale o fato de que uma 1-forma diferenciável \omega em S^1 é exata se, e somente se, sua integral ao longo do gerador básico de H_{1}(S^1) (isto é, o próprio círculo) for zero.

Passo 2

Parametrizamos o círculo por
\gamma\colon [0,2\pi]\to S^1,\qquad \gamma(t)=(\cos t,\sin t).
Então
dx = -\sin t\,dt \quad\text{e}\quad dy = \cos t\,dt,
e para qualquer 1-forma \omega em S^1 temos
\int_{S^1}\omega = \int_{0}^{2\pi}\omega\bigl(\dot\gamma(t)\bigr).

Passo 3

Calculamos a integral de cada forma:
  1. Para \omega_{1}=dx:
dx = -\sin t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{2\pi}(-\sin t)\,dt = 0.
  1. Para \omega_{2}=y\,dx - x\,dy:
y\,dx - x\,dy = \sin t\,(-\sin t\,dt)\;-\;\cos t\,(\cos t\,dt) = -\bigl(\sin^2 t+\cos^2 t\bigr)\,dt = -dt,
\int_{0}^{2\pi} -\,dt = -\,2\pi \;\neq\;0.
  1. Para \omega_{3}=y\,dx + x\,dy, \omega_{4}=x\,dx + y\,dy e \omega_{5}=y^2\,dx - x^2\,dy, as funções integrandas são combinações de \sin^k t e \cos^k t com média nula em [0,2\pi], logo
\int_{0}^{2\pi}\omega_{3} =\int_{0}^{2\pi}\omega_{4} =\int_{0}^{2\pi}\omega_{5} =0.

Passo 4

Das cinco 1-formas, apenas \,y\,dx - x\,dy tem período (integral ao longo de S^1) diferente de zero, portanto é a única que não é exata em S^1.

Resposta

y\,dx - x\,dy

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