6-
Seja P o pentágono em \mathbb{R}^{2} cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são
(0,0) \quad(1,0) \quad(100,2) \quad(38,4) \quad(0,3)
Calcule
\frac{1}{2} \int_{P} y d x+x d y
\square

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{1}{2}\int_{P}y\,dx + x\,dy
em que P é o pentágono de vértices, em sentido anti-horário, (0,0), (1,0), (100,2), (38,4), (0,3). O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma diferencial exata.

Passo 2

Observamos que
d(xy) = x\,dy + y\,dx.
Logo a forma y\,dx + x\,dy é exatamente d(xy).

Passo 3

Como P é um caminho fechado, a integral de uma diferencial exata ao longo de P vale zero, isto é,
\int_{P}d(xy)=0.

Passo 4

Portanto
\frac{1}{2}\int_{P}y\,dx + x\,dy =\frac12\cdot0=0.

Resposta

0

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