Seja E o elipsóide
\frac{x^{2}}{13^{2}}+\frac{y^{2}}{67^{2}}+\frac{z^{2}}{97^{2}}=1
Qual o valor de
\int_{E} x d x \wedge d y+z^{2} d x \wedge d z ?
\square

Passo 1

O enunciado define o elipsóide
E:\frac{x^{2}}{13^{2}}+\frac{y^{2}}{67^{2}}+\frac{z^{2}}{97^{2}}=1
e pede o valor da integral da 2-forma
\omega=x\,dx\wedge dy+z^{2}\,dx\wedge dz
sobre a superfície fechada E. Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) para 2-formas, que diz que, se escrevermos
\omega=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy,
então
\int_{E}\omega =\iiint_{\text{interior}(E)} \Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Bigr)\,dV.

Passo 2

Reescrevemos
\omega = x\,dx\wedge dy \;+\; z^{2}\,dx\wedge dz.
Para colocar no formato canônico notamos que
dx\wedge dz = -\,dz\wedge dx.
Logo
x\,dx\wedge dy = R\,dx\wedge dy\quad\text{com }R=x,
z^{2}\,dx\wedge dz = -\,z^{2}\,dz\wedge dx\quad\text{então }Q=-\,z^{2},ã
e não há termo dy\wedge dz, ou seja P=0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\int_{E}\omega =\iiint_{\text{interior}(E)} \Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Bigr)\,dV.
Aqui temos
P=0, \quad Q=-z^{2}, \quad R=x.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=0.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0
em todo o interior de E.

Passo 5

Como a divergência é identicamente zero, a integral tripla também é zero, e assim a integral de superfície da 2-forma sobre o elipsóide é
\int_{E}\omega=0.

Resposta

0

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