Um laboratório de confiabilidade precisa alocar um orçamento entre horas de uso de um analisador de vibração ( x_{1} ) e horas de câmara climática ( x_{2} ). O desempenho é modelado por
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{0,5} x_{2}^{0,5}
Os preços são p_{1}=\mathrm{R} \ 80,00 / \mathrm{h} ep_{2}=\mathrm{R} $20,00 / \mathrm{h} , com orçamentoçm=\mathrm{R} $ 10.000,00$.
(a) Derive a demanda Marshalliana ( x_{1}^{M}, x_{2}^{M} ).
(b) Calcule as quantidades ótimas (em horas) de x_{1} e x_{2} com os valores dados.
(c) Indique o gasto em cada insumo e comente a participação orçamentária.
(d) Esboce graficamente a reta orçamentária e a indiferença no ótimo.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Função utilidade U\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{0,5}x_{2}^{0,5}.
  • Preços p_{1}=\mathrm{R}\$\;80{,}00/\mathrm{h},\qquad p_{2}=\mathrm{R}\$\;20{,}00/\mathrm{h}.
  • Orçamento m=\mathrm{R}\$\;10.000{,}00.
O que o enunciado pede:
(a) Derivar a demanda Marshalliana \left(x_{1}^{M},x_{2}^{M}\right).
(b) Calcular as quantidades ótimas numéricas de x_{1} e x_{2} com os valores dados.
(c) Indicar o gasto em cada insumo e comentar a participação orçamentária.
(d) Esboçar graficamente a reta orçamentária e a curva de indiferença no ótimo (ou seja, fornecer os elementos para desenhar a reta orçamentária e a indiferença tangente no ponto ótimo).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem ainda resolver):
Método escolhido — maximização da utilidade sujeita à restrição orçamentária usando multiplicadores de Lagrange. Justificativa rápida: é o método padrão para encontrar demandas Marshallianas para preferências suaves (aqui Cobb–Douglas), e fornece as condições de otimalidade (FOC) que nos levam à relação tangência entre a taxa marginal de substituição e a razão de preços. Depois mostrarei a forma geral e também a interpretação de participação orçamentária (característica do Cobb–Douglas).

Passo 3

Escrevendo o problema de otimização e definindo símbolos:
  • Variáveis de escolha: x_{1} e x_{2} (horas de cada equipamento).
  • Restrição orçamentária: p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
  • Lagrangiana: defino o multiplicador \lambda e monto
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}^{0,5}x_{2}^{0,5}-\lambda\left(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-m\right).
Explicação curta: \lambda mede quanto a utilidade aumenta por uma pequena unidade extra do orçamento; as primeiras derivadas da Lagrangiana nos dão as condições de otimalidade (FOC).

Passo 4

Calcular as condições de primeira ordem (FOC). Derivo a Lagrangiana em relação a cada variável e igualo a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=0{,}5\,x_{1}^{-0,5}x_{2}^{0,5}-\lambda p_{1}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=0{,}5\,x_{1}^{0,5}x_{2}^{-0,5}-\lambda p_{2}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-m)=0.
Explicação didática: as duas primeiras equações dizem que a utilidade marginal de gastar na variável x_{i} multiplicada por alguma coisa tem que igualar o preço ponderado pelo multiplicador \lambda. Vamos manipular essas equações para obter uma relação simples entre x_{1} e x_{2}.

Passo 5

Eliminar \lambda dividindo a primeira FOC pela segunda FOC para obter a condição de tangência (MRS = razão de preços):
Dividindo termo a termo:
\frac{0{,}5\,x_{1}^{-0,5}x_{2}^{0,5}}{0{,}5\,x_{1}^{0,5}x_{2}^{-0,5}}=\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_{2}}.
O 0{,}5 e \lambda cancelam, e os expoentes simplificam:
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Interpretação econômica e matemática: a taxa marginal de substituição (MRS), que para esta utilidade resulta em \mathrm{MRS}=\dfrac{x_{2}}{x_{1}}, deve ser igual à razão de preços \dfrac{p_{1}}{p_{2}}. Essa é a condição de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária.

Passo 6

Usar a relação obtida na restrição orçamentária para achar x_{1}^{M} e x_{2}^{M} em termos de p_{1},p_{2},m.
Da relação obtida:
x_{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\,x_{1}.
Substituo na restrição p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m:
p_{1}x_{1}+p_{2}\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}\right)=m.
O segundo termo simplifica para p_{1}x_{1}, então
p_{1}x_{1}+p_{1}x_{1}=2p_{1}x_{1}=m.
Logo
x_{1}^{M}=\frac{m}{2p_{1}}=\frac{0{,}5\,m}{p_{1}}.
Usando x_{2}=\dfrac{p_{1}}{p_{2}}x_{1} obtenho
x_{2}^{M}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\,\frac{m}{2p_{1}}=\frac{m}{2p_{2}}=\frac{0{,}5\,m}{p_{2}}.
Interpretação: para uma utilidade Cobb–Douglas com expoentes 0{,}5 e 0{,}5, cada bem recebe uma fração 0{,}5 do orçamento — isto é, as demandas são proporção do orçamento dividido pelo preço.

Passo 7

Resultados simbólicos finais (demanda Marshalliana):
x_{1}^{M}=\frac{0{,}5\,m}{p_{1}},\qquad x_{2}^{M}=\frac{0{,}5\,m}{p_{2}}.
Comentário intuitivo: a parte 0{,}5 vem dos expoentes da função Cobb–Douglas; cada expoente indica a parcela do orçamento gasto no respectivo bem.

Passo 8

Agora aplico os valores numéricos do enunciado.
Calculo intermediário:
0{,}5\,m=0{,}5\times\mathrm{R}\$\;10.000{,}00=\mathrm{R}\$\;5.000{,}00.
Então
x_{1}^{M}=\frac{0{,}5\,m}{p_{1}}=\frac{\mathrm{R}\$\;5.000{,}00}{\mathrm{R}\$\;80{,}00/\mathrm{h}}=\;62{,}5\\ \mathrm{h},
x_{2}^{M}=\frac{0{,}5\,m}{p_{2}}=\frac{\mathrm{R}\$\;5.000{,}00}{\mathrm{R}\$\;20{,}00/\mathrm{h}}=\;250\\ \mathrm{h}.
Passo a passo mental: dividir R$5.000,00 por R$80,00 dá 62,5; por R$20,00 dá 250.

Passo 9

Calcular o gasto em cada insumo e a participação orçamentária.
  • Gasto em x_{1}: p_{1}x_{1}^{M}=80{,}00\times62{,}5=\mathrm{R}\$\;5.000{,}00.
  • Gasto em x_{2}: p_{2}x_{2}^{M}=20{,}00\times250=\mathrm{R}\$\;5.000{,}00.
Participação orçamentária: cada insumo consome \dfrac{5.000}{10.000}=0{,}5 do orçamento, ou seja 50\% do orçamento cada um. Comentário: isso é coerente com os expoentes 0{,}5 e 0{,}5; para Cobb–Douglas a participação orçamentária é exatamente o expoente relativo.

Passo 10

Elementos para esboçar graficamente a reta orçamentária e a indiferença no ótimo.
Reta orçamentária (interceptos e inclinação):
  • Intercepto no eixo x_{1} (quando x_{2}=0): \frac{m}{p_{1}}=\frac{10.000}{80}=125\\ \mathrm{h}.
  • Intercepto no eixo x_{2} (quando x_{1}=0): \frac{m}{p_{2}}=\frac{10.000}{20}=500\\ \mathrm{h}.
  • Inclinação da reta (coeficiente angular): -\frac{p_{1}}{p_{2}}=-\frac{80}{20}=-4.
Ponto ótimo (tangência): \left(x_{1}^{M},x_{2}^{M}\right)=\left(62{,}5,\;250\right).
Utilidade no ótimo (útil para desenhar a curva de indiferença tangente): U^{*}=\left(62{,}5\right)^{0{,}5}\left(250\right)^{0{,}5}=\sqrt{62{,}5\times250}=\sqrt{15.625}=125.
Como desenhar (passo a passo para o esboço à mão): 1) desenhar eixos x_{1} e x_{2}; 2) marcar interceptos \left(125,0\right) e \left(0,500\right) e traçar a reta orçamentária; 3) marcar o ponto ótimo \left(62{,}5,250\right) (fica no meio da reta na razão dada); 4) desenhar a curva de indiferença que passa por esse ponto com nível U=125 (curva convexa que é tangente à reta com inclinação -4). Observação: a curva de indiferença tem formato de ramo hiperbólico para Cobb–Douglas; no ponto ótimo sua inclinação (derivada implícita) será -4, igual à inclinação da reta.

Passo 11

Resumo e interpretação final curta (ânimo): a solução é muito direta porque a utilidade é Cobb–Douglas com pesos iguais — cada insumo recebe metade do orçamento. Você já tem as fórmulas gerais para aplicar em outras instâncias (mudar preços ou orçamento): divide metade do orçamento pelo preço correspondente. Vai dar certo na prova — respira, anota a fórmula e pratique um exemplo ou dois.

Resposta

(a) x_{1}^{M}=\dfrac{0{,}5\,m}{p_{1}},\quad x_{2}^{M}=\dfrac{0{,}5\,m}{p_{2}}.
(b) x_{1}^{M}=62{,}5\\ \mathrm{h},\quad x_{2}^{M}=250\\ \mathrm{h}.
(c) Gasto em x_{1}: \mathrm{R}\$\;5.000{,}00; gasto em x_{2}: \mathrm{R}\$\;5.000{,}00. Participação orçamentária: 50\% em x_{1} e 50\% em x_{2}.
(d) Reta orçamentária: interceptos \left(\dfrac{m}{p_{1}},0\right)=\left(125,0\right) e \left(0,\dfrac{m}{p_{2}}\right)=\left(0,500\right), inclinação -\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=-4. Ótimo: \left(62{,}5,\;250\right) com utilidade U^{*}=125.

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