Um laboratório de confiabilidade precisa alocar um orçamento entre horas de uso de um analisador de vibração (
) e horas de câmara climática (
). O desempenho é modelado por
Os preços são
80,00 / \mathrm{h}
p_{2}=\mathrm{R} $20,00 / \mathrm{h}
m=\mathrm{R} $ 10.000,00$.
(a) Derive a demanda Marshalliana (
).
(b) Calcule as quantidades ótimas (em horas) de
e
com os valores dados.
(c) Indique o gasto em cada insumo e comente a participação orçamentária.
(d) Esboce graficamente a reta orçamentária e a indiferença no ótimo.
(a) Derive a demanda Marshalliana (
(b) Calcule as quantidades ótimas (em horas) de
(c) Indique o gasto em cada insumo e comente a participação orçamentária.
(d) Esboce graficamente a reta orçamentária e a indiferença no ótimo.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Função utilidade
- Preços
- Orçamento
O que o enunciado pede:
(a) Derivar a demanda Marshalliana .
(b) Calcular as quantidades ótimas numéricas de e
com os valores dados.
(c) Indicar o gasto em cada insumo e comentar a participação orçamentária.
(d) Esboçar graficamente a reta orçamentária e a curva de indiferença no ótimo (ou seja, fornecer os elementos para desenhar a reta orçamentária e a indiferença tangente no ponto ótimo).
(a) Derivar a demanda Marshalliana
(b) Calcular as quantidades ótimas numéricas de
(c) Indicar o gasto em cada insumo e comentar a participação orçamentária.
(d) Esboçar graficamente a reta orçamentária e a curva de indiferença no ótimo (ou seja, fornecer os elementos para desenhar a reta orçamentária e a indiferença tangente no ponto ótimo).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem ainda resolver):
Método escolhido — maximização da utilidade sujeita à restrição orçamentária usando multiplicadores de Lagrange. Justificativa rápida: é o método padrão para encontrar demandas Marshallianas para preferências suaves (aqui Cobb–Douglas), e fornece as condições de otimalidade (FOC) que nos levam à relação tangência entre a taxa marginal de substituição e a razão de preços. Depois mostrarei a forma geral e também a interpretação de participação orçamentária (característica do Cobb–Douglas).
Método escolhido — maximização da utilidade sujeita à restrição orçamentária usando multiplicadores de Lagrange. Justificativa rápida: é o método padrão para encontrar demandas Marshallianas para preferências suaves (aqui Cobb–Douglas), e fornece as condições de otimalidade (FOC) que nos levam à relação tangência entre a taxa marginal de substituição e a razão de preços. Depois mostrarei a forma geral e também a interpretação de participação orçamentária (característica do Cobb–Douglas).
Passo 3
Escrevendo o problema de otimização e definindo símbolos:
- Variáveis de escolha:
e (horas de cada equipamento). - Restrição orçamentária:
- Lagrangiana: defino o multiplicador
e monto
Explicação curta:
mede quanto a utilidade aumenta por uma pequena unidade extra do orçamento; as primeiras derivadas da Lagrangiana nos dão as condições de otimalidade (FOC).
Passo 4
Calcular as condições de primeira ordem (FOC). Derivo a Lagrangiana em relação a cada variável e igualo a zero:
Explicação didática: as duas primeiras equações dizem que a utilidade marginal de gastar na variável
multiplicada por alguma coisa tem que igualar o preço ponderado pelo multiplicador
. Vamos manipular essas equações para obter uma relação simples entre
e
.
Passo 5
Eliminar
dividindo a primeira FOC pela segunda FOC para obter a condição de tangência (MRS = razão de preços):
Dividindo termo a termo:
Dividindo termo a termo:
O
e
cancelam, e os expoentes simplificam:
Interpretação econômica e matemática: a taxa marginal de substituição (MRS), que para esta utilidade resulta em
, deve ser igual à razão de preços
. Essa é a condição de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária.
Passo 6
Usar a relação obtida na restrição orçamentária para achar
e
em termos de
.
Da relação obtida:
Substituo na restrição
O segundo termo simplifica para
, então
Logo
Usando
obtenho
Interpretação: para uma utilidade Cobb–Douglas com expoentes
e
, cada bem recebe uma fração
do orçamento — isto é, as demandas são proporção do orçamento dividido pelo preço.
Passo 7
Resultados simbólicos finais (demanda Marshalliana):
Comentário intuitivo: a parte
vem dos expoentes da função Cobb–Douglas; cada expoente indica a parcela do orçamento gasto no respectivo bem.
Passo 8
Agora aplico os valores numéricos do enunciado.
Calculo intermediário:
Então
Passo a passo mental: dividir R$5.000,00 por R$80,00 dá 62,5; por R$20,00 dá 250.
Passo 9
Calcular o gasto em cada insumo e a participação orçamentária.
- Gasto em
: - Gasto em
:
Participação orçamentária: cada insumo consome
do orçamento, ou seja
do orçamento cada um. Comentário: isso é coerente com os expoentes
e
; para Cobb–Douglas a participação orçamentária é exatamente o expoente relativo.
Passo 10
Elementos para esboçar graficamente a reta orçamentária e a indiferença no ótimo.
Reta orçamentária (interceptos e inclinação):
- Intercepto no eixo
(quando ): - Intercepto no eixo
(quando ): - Inclinação da reta (coeficiente angular):
Ponto ótimo (tangência):
Utilidade no ótimo (útil para desenhar a curva de indiferença tangente):
Como desenhar (passo a passo para o esboço à mão): 1) desenhar eixos
e
; 2) marcar interceptos
e
e traçar a reta orçamentária; 3) marcar o ponto ótimo
(fica no meio da reta na razão dada); 4) desenhar a curva de indiferença que passa por esse ponto com nível
(curva convexa que é tangente à reta com inclinação
). Observação: a curva de indiferença tem formato de ramo hiperbólico para Cobb–Douglas; no ponto ótimo sua inclinação (derivada implícita) será
, igual à inclinação da reta.
Passo 11
Resumo e interpretação final curta (ânimo): a solução é muito direta porque a utilidade é Cobb–Douglas com pesos iguais — cada insumo recebe metade do orçamento. Você já tem as fórmulas gerais para aplicar em outras instâncias (mudar preços ou orçamento): divide metade do orçamento pelo preço correspondente. Vai dar certo na prova — respira, anota a fórmula e pratique um exemplo ou dois.
Resposta
(a)
(b)
(c) Gasto em :
; gasto em
:
. Participação orçamentária:
em
e
em
.
(d) Reta orçamentária: interceptos e
, inclinação
. Ótimo:
com utilidade
.
(b)
(c) Gasto em
(d) Reta orçamentária: interceptos