(a) Área de um Paraboloide Considere a superfície S dada pela parábola rotacionada r(u, theta)=(u cos theta, u sin theta, 4- u^2), 0 <= u <= 2, 0 <= theta<2 pi. Calcule a área da superfície S. Resp.: A(S)=pi6(17^3 / 2-1).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S parametrizada por
r(u,theta) = l(ucostheta,;usintheta,;4 - u^2r), 0 <= u <= 2,;;0 <= theta < 2pi
Para isso vamos usar a fórmula da área de superfície paramétrica:
A = integral duplaD llVert ru times rthetarrVert,d u,dtheta

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
ru(u,theta) = l(costheta,;sintheta,;-2ur), rtheta(u,theta) = l(-usintheta,;ucostheta,;0r)

Passo 3

Formemos o produto vetorial
rutimes rtheta = l(2u^2costheta,;-2u^2sintheta,;ur)
e seu módulo
llVert rutimes rthetarrVert = raiz(2u^2)^2cos^2!theta + (2u^2)^2sin^2!theta + u^2 = uraiz4u^2+1

Passo 4

A área vem de
A = integral0^2pi!!integral0^2 uraiz4u^2+1;du,dtheta = 2pi integral0^2 uraiz4u^2+1;du

Passo 5

Para calcular integral0^2uraiz4u^2+1,du fazemos a substituição
t = 4u^2+1, dt = 8u,du,
de modo que os limites u=0to t=1 e u=2to t=17 dão
integral0^2uraiz4u^2+1,du = 18integral1^17t^tfrac12dt = 18cdot23l(17^3/2-1r) = 17^3/2-112
Multiplicando por 2pi resulta
A = 2picdot17^3/2-112 = pi6l(17^3/2-1r)

Resposta

A(S) = pi6l(17^3/2-1r)

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