Parametrize a superfície S dada.
S : porção do cilindro x^2+y^2=16 entre os planos x+y+z=4 e z=16. r(theta, z)=(4 cos theta, 4 sin theta, z), 0 <= theta<2 pi, 4-4 cos theta-4 sin theta <= z <= 16.

Passo 1

O enunciado pede parametrizar a superfície S formada pela porção do cilindro x^2+y^2=16 que está “entalada” entre os planos
x+y+z=4
e
z=16
O conteúdo envolve parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas: vamos expressar x e y em função de um ângulo theta e depois determinar o intervalo de z.

Passo 2

No cilindro de raio 4 centrado no eixo z, usamos as coordenadas cilíndricas para a geratriz:
x = 4costheta, y = 4sintheta,
com theta variando em [0,2pi).

Passo 3

Para encontrar os limites em z, observamos que S está entre o plano
x+y+z=4
e o plano
z=16
Da equação x+y+z=4 temos
z = 4 - x - y = 4 - 4costheta - 4sintheta,
então
4 - 4costheta - 4sintheta ;<=; z ;<=; 16

Passo 4

Tomando como parâmetros theta e z, a parametrização fica
r(theta,z) = l(4costheta,;4sintheta,;zr),
onde
0 <= theta < 2pi, 4 - 4costheta - 4sintheta ;<=; z ;<=; 16

Resposta

r(theta,z)=l(4costheta,;4sintheta,;zr), 0<=theta<2pi, 4-4costheta-4sintheta<= z<=16

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