Parametrize a superfície
dada.
: porção do plano
, situada no interior do cilindro
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar a superfície
que é uma parte do plano
que está dentro do cilindro
. O conteúdo envolve parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são bem práticas pra lidar com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro
. Esse cilindro tem raio 4, já que
, e vai se estender ao longo do eixo z. Ou seja, todos os pontos que estão a uma distância de 4 unidades da origem no plano xy estão dentro do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o plano
. Para isso, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Isso nos dá uma expressão para
em função de
e
.
Passo 4
Como estamos lidando com um cilindro, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para parametrizar
e
. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Onde
é a distância da origem no plano xy e
é o ângulo com o eixo x.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão que encontramos para
:
Agora temos todas as coordenadas
,
e
em termos de
e
.
Passo 6
Precisamos definir os limites para
e
. Como o cilindro tem raio 4,
vai de 0 até 4:
E
faz uma volta completa no círculo, então:
Resposta
A parametrização da superfície
é dada por: