Parametrize a superfície S dada.
S : porção do plano x+y+z=4, situada no interior do cilindro x^2+y^2=16. Resp.: r(r, theta)= (r cos theta, r sin theta, 4-r cos theta-r sin theta), 0 <= r <= 4, 0 <= theta<2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar a superfície S que é uma parte do plano x + y + z = 4 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 16 . O conteúdo envolve parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são bem práticas pra lidar com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro x^2 + y^2 = 16 . Esse cilindro tem raio 4, já que raiz16 = 4 , e vai se estender ao longo do eixo z. Ou seja, todos os pontos que estão a uma distância de 4 unidades da origem no plano xy estão dentro do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o plano x + y + z = 4 . Para isso, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para z :
z = 4 - x - y
Isso nos dá uma expressão para z em função de x e y .

Passo 4

Como estamos lidando com um cilindro, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para parametrizar x e y . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
Onde r é a distância da origem no plano xy e theta é o ângulo com o eixo x.

Passo 5

Substituindo x e y na expressão que encontramos para z :
z = 4 - (r cos theta) - (r sin theta)
z = 4 - r(cos theta + sin theta)
Agora temos todas as coordenadas x , y e z em termos de r e theta .

Passo 6

Precisamos definir os limites para r e theta . Como o cilindro tem raio 4, r vai de 0 até 4:
0 <= r <= 4
E theta faz uma volta completa no círculo, então:
0 <= theta < 2pi

Resposta

A parametrização da superfície S é dada por:
r(r, theta) = ( r cos theta, r sin theta, 4 - r cos theta - r sin theta ), 0 <= r <= 4, 0 <= theta < 2pi

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