(c) Seja S a porção do cilindro x^2+y^2=4 compreendida entre os planos z=0 e z=x+2. Determine a área da superfície S. Resp.: A(S)=8 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da parte S do cilindro
x^2+y^2=4
limitada abaixo pelo plano z=0 e acima pelo plano z=x+2.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área de superfície parametrizada:
se r(u,v) é uma parametrização de S, então
A(S)=integral duplaDl| rutimes rvr|,du,dv

Passo 2

Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas em (t,z):
r(t,z)=l(2cos t,;2sin t,;zr),
onde t varia de 0 a 2pi e z vai de 0 (plano inferior) até o valor dado por z=x+2. Como x=2cos t, o teto é
z=2cos t+2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
rt=(-2sin t,;2cos t,;0), rz=(0,0,1),
rttimes rz =l(2cos t,;2sin t,;0r), l| rttimes rzr| =raiz(2cos t)^2+(2sin t)^2=2

Passo 4

Agora montamos a integral dupla de área:
A(S) =integralt=0^2piintegralz=0^2cos t+22;dz,dt =2integral0^2pil[,zr]0^2cos t+2dt =2integral0^2pil(2cos t+2r)dt
Distribuindo:
A(S)=2l(2!integral0^2picos t,dt+2!integral0^2pi1,dtr) =2l(2cdot0+2cdot2pir) =8pi

Resposta

A(S)=8pi

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