(a) Seja
a superfície dada pelo paraboloide
, com
. Calcule a integral de superfície
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
é o paraboloide
para
.
Conteúdo: integral de superfície de função sobre gráfico de .
Fórmula chave: se é dado por
sobre a região plana
, então
Conteúdo: integral de superfície de função sobre gráfico de
Fórmula chave: se
e
Passo 2
Identificamos
. Calculamos as derivadas parciais:
logo
Passo 3
O disco
é dado por
, ou seja
,
.
Em polares:
Em polares:
então
Passo 4
Para
,
fazemos . Então
fazemos
Separamos a integral:
Calcula-se cada parte e obtém-se (detalhes de álgebra):
Passo 5
Multiplicando por
, vem