(a) Seja S a superfície dada pelo paraboloide z=4-x^2-y^2, com z >= 0. Calcule a integral de superfície I=integral duplaS z d S. Resp.: I=8 pi3(5 raiz5-4).

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
I ;=;integral duplaS z,dS
onde S é o paraboloide z=4 - x^2 - y^2 para z>=0.
Conteúdo: integral de superfície de função sobre gráfico de z=g(x,y).
Fórmula chave: se S é dado por z=g(x,y) sobre a região plana D, então
dS = raiz1 + gx^2 + gy^2;dA
e
integral duplaS z,dS = integral duplaD g(x,y),raiz1 + gx^2 + gy^2;dA

Passo 2

Identificamos g(x,y)=4 - x^2 - y^2. Calculamos as derivadas parciais:
gx = -2x, gy = -2y
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raiz1 + gx^2 + gy^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4r^2 (em coordenadas polares x=rcostheta,y=rsintheta)

Passo 3

O disco D é dado por x^2+y^2<=4, ou seja 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi.
Em polares:
g(x,y)=4 - r^2, dA = r,dr,dtheta,
então
I = integral0^2pi!integral0^2 (4 - r^2),raiz1 + 4r^2;l(r,dr,dthetar) = 2pi integral0^2 (4r - r^3),raiz1+4r^2;dr

Passo 4

Para
integral0^2(4r - r^3)raiz1+4r^2,dr,
fazemos u=1+4r^2implies du=8r,dr. Então
r,dr = du8, r^3,dr = r^2,(r,dr) = u-14,du8 = u-132,du
Separamos a integral:
integral(4r - r^3)raizu,dr =4!integral r,u^1/2dr ;-!integral r^3,u^1/2dr
Calcula-se cada parte e obtém-se (detalhes de álgebra):
integral0^2(4r - r^3)raiz1+4r^2,dr =17^5/2-41120

Passo 5

Multiplicando por 2pi, vem
I = 2pi;17^5/2-41120 = pi60,l(17^5/2-41r) = pi60,l(289raiz17-41r)

Resposta

boxedI = pi60,l(289raiz17-41r)

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