A área de um paralelogramo construído sobre u=(1,1, a) e v=(-1,1,0) é igual a raiz22. Sabendo que a in R, determine o valor de a.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,1,a) e v=(-1,1,0) e diz que a área do paralelogramo que eles formam vale raiz22. Sabemos que a área é
|utimesv|
Então vamos usar o produto vetorial e depois igualar seu módulo a raiz22.

Passo 2

O produto vetorial em R^3 é
utimesv = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Aqui (u1,u2,u3)=(1,1,a) e (v1,v2,v3)=(-1,1,0).

Passo 3

Calculando cada componente,
utimesv =l(1cdot 0 - acdot 1,;-l(1cdot 0 - acdot(-1)r),;1cdot1 - 1cdot(-1)r) =(-a,,-a,,2)

Passo 4

O quadrado do módulo é
|utimesv|^2 =(-a)^2+(-a)^2+2^2 =2a^2+4
Como a área vale raiz22, temos
|utimesv|^2=22 Longrightarrow 2a^2+4=22

Passo 5

Resolvendo a equação:
2a^2=18 Longrightarrow a^2=9 Longrightarrow a=pm 3

Resposta

a=3 ou a=-3.

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