Prove que:
Z(G) triang<=<=ft G. Mais geralmente, se H<Z(G), então H triang<=<=ft G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o centro de um grupo G,
Z(G)=,zin Gmid zx=xz;forall xin G,
é um subgrupo normal de G. Mais ainda, que qualquer subgrupo H contido em Z(G) também é normal em G.
Conteúdos que vamos usar:
– Definição de centro de um grupo.
– Definição de subgrupo normal (fechado sob conjugação).

Passo 2

Definição de normalidade: um subgrupo N de G é normal, Ntriang<=<=ft G, se e somente se
gNg^-1=,gng^-1mid nin N=N
para todo gin G.

Passo 3

Prova de que Z(G)triang<=<=ft G: seja gin G e zin Z(G). Por definição de centro, z comuta com todo elemento de G, em particular com g. Logo
gz=zg Longrightarrow gzg^-1=z,g,g^-1=z
Isso mostra que cada conjugado gzg^-1 ainda é um elemento de Z(G). Portanto
g,Z(G),g^-1subseteq Z(G)
Como a conjugação é bijetora, vale também a inclusão inversa, e temos
g,Z(G),g^-1=Z(G),
de onde segue Z(G)triang<=<=ft G.

Passo 4

Generalização: seja H um subgrupo de Z(G). Então todo hin H também comuta com cada gin G. Repetindo o raciocínio anterior, para quaisquer gin G e hin H temos
ghg^-1=hin H,
logo
gHg^-1=H forall,gin G,
e portanto Htriang<=<=ft G.

Resposta

Z(G)triang<=<=ft G e, de modo mais geral, qualquer H<Z(G) satisfaz Htriang<=<=ft G.

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