Prove que:
. Mais geralmente, se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o centro de um grupo
,
é um subgrupo normal de
. Mais ainda, que qualquer subgrupo
contido em
também é normal em
.
Conteúdos que vamos usar:
– Definição de centro de um grupo.
– Definição de subgrupo normal (fechado sob conjugação).
Conteúdos que vamos usar:
– Definição de centro de um grupo.
– Definição de subgrupo normal (fechado sob conjugação).
Passo 2
Definição de normalidade: um subgrupo
de
é normal,
, se e somente se
para todo
.
Passo 3
Prova de que
: seja
e
. Por definição de centro,
comuta com todo elemento de
, em particular com
. Logo
Isso mostra que cada conjugado
ainda é um elemento de
. Portanto
Como a conjugação é bijetora, vale também a inclusão inversa, e temos
de onde segue
.
Passo 4
Generalização: seja
um subgrupo de
. Então todo
também comuta com cada
. Repetindo o raciocínio anterior, para quaisquer
e
temos
logo
e portanto
.