Determine o ângulo entre os planos alpha: x-2 y+3 z-1=0 e beta: X=(2,3,0)+t(1,2,0)+s(2,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois planos em R^3:
– Plano alpha na forma cartesiana
alpha: x - 2y + 3z - 1 = 0,
– Plano beta na forma paramétrica
beta: (x,y,z) = (2,3,0) + t,(1,2,0) + s,(2,4,-1)
O conteúdo aqui é geometria analítica: para achar o ângulo entre planos usamos seus vetores normais e a fórmula
cosphi = l|nalpha cdot nbetar||nalpha|;|nbeta|

Passo 2

Encontrar o vetor normal de alpha.
Como alpha está dada por x - 2y + 3z - 1 = 0, seu vetor normal é
nalpha = (1,,-2,,3)

Passo 3

Encontrar o vetor normal de beta.
Do parâmetro de beta extraímos dois vetores diretores:
d1 = (1,2,0), d2 = (2,4,-1)
O normal a beta é o produto vetorial
nbeta = d1 times d2 = det i & j & k 1 & 2 & 0 2 & 4 & -1 = (-2,;1,;0)

Passo 4

Calcular produto escalar e normas:
nalpha cdot nbeta = (1)(-2) + (-2)(1) + 3cdot0 = -4,
|nalpha| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz14, |nbeta| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz5

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo phi:
cosphi = |,nalpha cdot nbeta,||nalpha|;|nbeta| = 4raiz14,raiz5 = 4raiz70
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phi = arccos!gl(4raiz70gr)approx 61,4^circ

Resposta

phi = arccos!l(tfrac4raiz70r)approx 61,4^circ

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