Determine o ângulo entre os planos alpha: x-2 y+3 z-1=0 e beta: x+y+z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos
alpha: x - 2y + 3z - 1 = 0 e
beta: x + y + z - 1 = 0.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, mais precisamente a definição de ângulo entre planos via seus vetores normais.

Passo 2

Para achar o ângulo entre dois planos, usamos o fato de que esse ângulo phi é o ângulo agudo entre seus vetores normais vec n1 e vec n2. Assim, vale
cosphi = l|vec n1cdotvec n2r| |vec n1|;|vec n2|

Passo 3

Do enunciado extraímos os normais:
vec n1=(1,-2,3) para alpha e
vec n2=(1,1,1) para beta.
Calculamos o produto escalar e as normas:
vec n1cdotvec n2 = 1cdot1 +(-2)cdot1 +3cdot1 = 1 -2 +3 = 2,
|vec n1| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz14, |vec n2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Logo
cosphi = |2|raiz14,raiz3 = 2raiz42

Passo 4

Finalmente, o ângulo é
phi = arccos!l(tfrac2raiz42r) approx 72,1^circ

Resposta

phi = arccos!l(2raiz42r)approx72,1^circ.

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