A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é igual à 2 . Sabendo-se que |u|=|v| mostre que |u|^2=2 csc theta (cossecante de theta ) onde theta é o ângulo formado entre os vetores u e v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v, que é igual a 2. Também sabemos que os comprimentos desses vetores são iguais, ou seja, |u| = |v|. Nosso objetivo é mostrar que |u|^2 = 2 csc theta, onde theta é o ângulo entre u e v. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a área de um paralelogramo usando o produto vetorial e relacionar isso com os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores u e v pode ser calculada usando o módulo do produto vetorial desses vetores: Área = |u times v|. Além disso, sabemos que o módulo do produto vetorial também pode ser expresso como |u||v|sin theta, onde theta é o ângulo entre os vetores. Portanto, temos:
|u times v| = |u||v|sin theta

Passo 3

Como sabemos que a área do paralelogramo é 2, podemos igualar essa expressão a 2:
|u||v|sin theta = 2
Além disso, foi dado que os módulos dos vetores são iguais, |u| = |v| = a (vamos chamar ambos de a para simplificar). Substituindo isso na equação:
a cdot a cdot sin theta = 2
O que simplifica para:
a^2 sin theta = 2

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a^2, então vamos isolar a^2 na equação:
a^2 = 2sin theta
a^2 = 2 cdot csc theta
Onde csc theta é a função cossecante, que é igual a 1/sin theta.

Passo 5

Portanto, mostramos que o quadrado do módulo do vetor u é igual a 2 csc theta:
|u|^2 = 2 csc theta

Resposta

|u|^2 = 2 csc theta

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