Seja o ângulo entre os vetores não nulos e .
(a) Sabendo-se que e não são ortogonais, mostre que
(b) Tomando e , utilize a fórmula do item . para calcular a tangente do ângulo formado por e ;
Passo 1
Então, temos um exercício de Geometria Vetorial, onde vamos trabalhar com vetores e os ângulos entre eles. A questão é dividida em duas partes:
a) Precisamos mostrar que, para dois vetores não nulos que não são ortogonais, a tangente do ângulo entre eles é igual ao módulo do produto vetorial dividido pelo produto escalar deles, ou seja:
b) Dado e , vamos utilizar a fórmula do item a) para calcular a tangente do ângulo formado por esses vetores.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto escalar, produto vetorial e como eles se relacionam com o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Primeiro, lembremos que o produto escalar (ou dot product) de dois vetores e é dado por:
onde e são os módulos dos vetores e é o ângulo entre eles.
O produto vetorial (ou cross product) resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais, e seu módulo é dado por:
Passo 3
Como a tangente de um ângulo é o quociente do seno pela o cosseno, podemos escrever:
Agora, substituindo as expressões dos produtos vetorial e escalar nas fórmulas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões na fórmula da tangente:
Isso prova a relação que queríamos mostrar para a parte a).
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Temos os vetores e . Primeiro, vamos calcular o produto vetorial e seu módulo.