Seja theta o ângulo entre os vetores não nulos u e v.
(a) Sabendo-se que u e v não são ortogonais, mostre que tan theta=|u times v|u cdot v
(b) Tomando u=(4,0,3) e v=(1,2,2), utilize a fórmula do item a. para calcular a tangente do ângulo formado por u e v;

Passo 1

Então, temos um exercício de Geometria Vetorial, onde vamos trabalhar com vetores e os ângulos entre eles. A questão é dividida em duas partes:
a) Precisamos mostrar que, para dois vetores não nulos que não são ortogonais, a tangente do ângulo entre eles é igual ao módulo do produto vetorial dividido pelo produto escalar deles, ou seja:
tan theta = |u times v|u cdot v
b) Dado u = (4, 0, 3) e v = (1, 2, 2), vamos utilizar a fórmula do item a) para calcular a tangente do ângulo formado por esses vetores.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto escalar, produto vetorial e como eles se relacionam com o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Primeiro, lembremos que o produto escalar (ou dot product) de dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = |u| , |v| cos theta
onde |u| e |v| são os módulos dos vetores e theta é o ângulo entre eles.
O produto vetorial (ou cross product) resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais, e seu módulo é dado por:
|u times v| = |u| , |v| sin theta

Passo 3

Como a tangente de um ângulo é o quociente do seno pela o cosseno, podemos escrever:
tan theta = sin thetacos theta
Agora, substituindo as expressões dos produtos vetorial e escalar nas fórmulas:
sin theta = |u times v||u| , |v|
cos theta = u cdot v|u| , |v|

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões na fórmula da tangente:
tan theta = |u times v||u| , |v|u cdot v|u| , |v| = |u times v|u cdot v
Isso prova a relação que queríamos mostrar para a parte a).

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Temos os vetores u = (4, 0, 3) e v = (1, 2, 2). Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v e seu módulo.
O produto vetorial é dado por:
u times v = i & j & k 4 & 0 & 3 1 & 2 & 2
Calculando o determinante:
u times v = i(0 cdot 2 - 3 cdot 2) - j(4 cdot 2 - 3 cdot 1) + k(4 cdot 2 - 0 cdot 1) = i(-6) - j(5) + k(8) = (-6, -5, 8)
Agora, o módulo desse vetor é:
|u times v| = raiz(-6)^2 + (-5)^2 + 8^2 = raiz36 + 25 + 64 = raiz125 = 5raiz5

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 4 cdot 1 + 0 cdot 2 + 3 cdot 2 = 4 + 0 + 6 = 10

Passo 7

Agora, aplicando a fórmula que mostramos na parte a):
tan theta = |u times v|u cdot v = 5raiz510 = raiz52

Resposta

A tangente do ângulo formado por u e v é raiz52.

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