Beleza, então o problema pede para calcular a área de um triângulo que tem três pontos no espaço tridimensional: A(1, 4, 0), B(3, 4, -5) e C(2, 1, 1). A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica no Espaço e Vetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular vetores que representem os lados do triângulo, usar o produto vetorial para encontrar uma área relacionada e, por fim, calcular a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir dois vetores que representam dois lados do triângulo. Podemos escolher, por exemplo, os vetores AB e AC. Para encontrar o vetor AB, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Da mesma forma, o vetor AC é:
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo formado pelos vetores AB e AC, usamos o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores originais. Como queremos a área do triângulo, vamos dividir essa magnitude por 2.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
AB times AC = i(0 cdot 1 - (-5) cdot (-3)) - j(2 cdot 1 - (-5) cdot 1) + k(2 cdot (-3) - 0 cdot 1)
Simplificando:
AB times AC = i(0 - 15) - j(2 + 5) + k(-6 - 0) = -15i - 7j - 6k
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo: