Calcule a área do triângulo com vértices em A(1,4,0) ; B(3,4,-5) e C(2,1,1)

Passo 1

Beleza, então o problema pede para calcular a área de um triângulo que tem três pontos no espaço tridimensional: A(1, 4, 0), B(3, 4, -5) e C(2, 1, 1). A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica no Espaço e Vetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular vetores que representem os lados do triângulo, usar o produto vetorial para encontrar uma área relacionada e, por fim, calcular a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois vetores que representam dois lados do triângulo. Podemos escolher, por exemplo, os vetores AB e AC. Para encontrar o vetor AB, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = (3 - 1, , 4 - 4, , -5 - 0) = (2, , 0, , -5)
Da mesma forma, o vetor AC é:
AC = (2 - 1, , 1 - 4, , 1 - 0) = (1, , -3, , 1)

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo formado pelos vetores AB e AC, usamos o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores originais. Como queremos a área do triângulo, vamos dividir essa magnitude por 2.
O produto vetorial AB times AC é calculado da seguinte forma:
AB times AC = i & j & k 2 & 0 & -5 1 & -3 & 1
Calculando o determinante:
AB times AC = i(0 cdot 1 - (-5) cdot (-3)) - j(2 cdot 1 - (-5) cdot 1) + k(2 cdot (-3) - 0 cdot 1)
Simplificando:
AB times AC = i(0 - 15) - j(2 + 5) + k(-6 - 0) = -15i - 7j - 6k

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo:
|AB times AC| = raiz(-15)^2 + (-7)^2 + (-6)^2 = raiz225 + 49 + 36 = raiz310

Passo 5

Como mencionamos que a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, dividimos o resultado por 2:
Área do triângulo = |AB times AC|2 = raiz3102 Áâ

Resposta

A área do triângulo é raiz3102 unidades quadradas.

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