Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço [v1, v2, ldots, vn].
a) v1=(1,2), v2=(-1,-2) e v3=(3,6);
b) v1=(ll1 & 0 0 & 1), v2=(ll1 & -1 0 & 2) e v3=(ll0 & 1 0 & -1);
c) v1=t^2+1, v2=t+1, v3=2t^2+1 e v4=2;
d) v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) e v4=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede, em cada item, o menor número de vetores (geradores) necessários para gerar o subespaço W=[v1,v2,dots,vn].
O conteúdo envolvido é teste de independência linear e dimensão de subespaços vetoriais. Vamos determinar dependências entre os vi e extrair uma base mínima.

Passo 2

a) Em R^2 temos
v1 = (1,2), v2=(-1,-2), v3=(3,6)
Note que v2 = -1cdot v1 e v3=3cdot v1. Logo todos são múltiplos de v1, isto é, W=spanv1. Portanto basta um gerador.

Passo 3

b) Em M2times2 temos
v1=1&00&1, v2=1&-10&2, v3=0&10&-1
Observe que
v2-v1 =0&-10&1 Longrightarrow v3= -1cdot(v2-v1)
Assim v3 está em spanv1,v2. Verifica-se também que v1 e v2 são independentes, pois a combinação a,v1+b,v2=0 implica a=b=0. Logo dim W=2.

Passo 4

c) No espaço dos polinômios de grau <=2, temos
v1=t^2+1, v2=t+1, v3=2t^2+1, v4=2
Fazendo combinação geral
a,v1+b,v2+c,v3 =(a+2c)t^2+b,t+(a+b+c),
para igualar a v4=2 precisamos b=0, a+2c=0 e a+c=2, que tem solução a=4, b=0, c=-2. Logo v4 depende de v1,v3. Restam as direções de t^2, de t e de 1, ou seja dim W=3.

Passo 5

d) Em R^3 temos
v1=(1,0,0),;v2=(0,1,0),;v3=(0,0,1),;v4=(1,2,3)
Os três primeiros já formam base canônica. Note que
v4=1cdot v1+2cdot v2+3cdot v3,
ou seja, v4 está no span de v1,v2,v3. Assim dim W=3.

Resposta

a) 1
b) 2
c) 3
d) 3

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