Encontre vetores
e
tais que:
(a) Sejam ortogonais dois à dois;
(b)
;
(c)
(
é paralelo à
).
(a) Sejam ortogonais dois à dois;
(b)
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A missão aqui é encontrar três vetores,
,
e
, que satisfaçam três condições:
- Eles são ortogonais dois a dois (ou seja, formam ângulos retos entre si).
- Cada um tem magnitude 9.
- O vetor
é paralelo ao vetor .
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como vetores paralelos, magnitude de vetores e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir
. Sabemos que
deve ser paralelo a
e ter magnitude 9.
Quando dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Então, podemos escrever:
Onde
é um número real que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
e igualar a 9:
Como a magnitude deve ser 9:
Então,
ou
.
Passo 4
Vamos escolher
para simplificar (o outro caso (
) também é válido, mas resulta em direção oposta):
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
e
que sejam ortogonais a
e entre si, além de terem magnitude 9.
Como
é
, qualquer vetor ortogonal a
deve satisfazer:
Passo 6
Para facilitar, vamos escolher
de forma que tenha componentes simples e satisfaça a ortogonalidade com
. Vamos tentar
tal que:
Uma solução simples é escolher
e
, então:
Então,
Passo 7
Mas precisamos que
. Calculamos a magnitude de
atual:
Para ajustar a magnitude para 9, escalamos
por um fator
:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
. Como
deve ser ortogonal tanto a
quanto a
, podemos usar o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 9
Agora, ajustamos
w para que tenha magnitude 9. Calculamos a magnitude atual:
Para que
|w| = 9 , escalamos por
n :
Então:
Simplificando:
Resposta
Os vetores que satisfazem as condições são: