Encontre vetores u, v e w tais que:
(a) Sejam ortogonais dois à dois;
(b) |u|=|v|=|w|=9;
(c) u / /(-4,1,8) ( u é paralelo à (-4,1,8) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A missão aqui é encontrar três vetores, u, v e w, que satisfaçam três condições:
  1. Eles são ortogonais dois a dois (ou seja, formam ângulos retos entre si).
  2. Cada um tem magnitude 9.
  3. O vetor u é paralelo ao vetor (-4, 1, 8).
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como vetores paralelos, magnitude de vetores e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir u. Sabemos que u deve ser paralelo a (-4, 1, 8) e ter magnitude 9.
Quando dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Então, podemos escrever:
u = k cdot (-4, 1, 8)
Onde k é um número real que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de u e igualar a 9:
|u| = raiz(-4k)^2 + (1k)^2 + (8k)^2 = raiz16k^2 + k^2 + 64k^2 = raiz81k^2 = 9|k|
Como a magnitude deve ser 9:
9|k| = 9 implies |k| = 1
Então, k = 1 ou k = -1.

Passo 4

Vamos escolher k = 1 para simplificar (o outro caso ( k = -1) também é válido, mas resulta em direção oposta):
u = (-4, 1, 8)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar v e w que sejam ortogonais a u e entre si, além de terem magnitude 9.
Como u é (-4, 1, 8), qualquer vetor ortogonal a u deve satisfazer:
u cdot v = 0 e u cdot w = 0

Passo 6

Para facilitar, vamos escolher v de forma que tenha componentes simples e satisfaça a ortogonalidade com u. Vamos tentar v = (a, b, c) tal que:
-4a + 1b + 8c = 0
Uma solução simples é escolher a = 1 e c = 0, então:
-4(1) + b + 8(0) = 0 implies b = 4
Então, v = (1, 4, 0)

Passo 7

Mas precisamos que |v| = 9. Calculamos a magnitude de v atual:
|v| = raiz1^2 + 4^2 + 0^2 = raiz1 + 16 = raiz17
Para ajustar a magnitude para 9, escalamos v por um fator m:
m cdot raiz17 = 9 implies m = 9raiz17
Portanto:
v = 9raiz17 cdot (1, 4, 0) = ( 9raiz17, 36raiz17, 0 )

Passo 8

Agora, vamos encontrar w. Como w deve ser ortogonal tanto a u quanto a v, podemos usar o produto vetorial:
w = u times v
Calculando o produto vetorial:
u times v = i & j & k -4 & 1 & 8 9raiz17 & 36raiz17 & 0 = i(1 cdot 0 - 8 cdot 36raiz17) - j(-4 cdot 0 - 8 cdot 9raiz17) + k(-4 cdot 36raiz17 - 1 cdot 9raiz17)
Simplificando:
w = ( -288raiz17, 72raiz17, -153raiz17 )

Passo 9

Agora, ajustamos w para que tenha magnitude 9. Calculamos a magnitude atual:
|w| = raiz(-288raiz17)^2 + (72raiz17)^2 + (-153raiz17)^2 = raiz288^2 + 72^2 + 153^217 = raiz82944 + 5184 + 2340917 = raiz11153717 = raiz6555.71 approx 81
Para que |w| = 9, escalamos por n:
n cdot 81 = 9 implies n = 19
Então:
w = 19 cdot ( -288raiz17, 72raiz17, -153raiz17 ) = ( -32raiz17, 8raiz17, -17raiz17 )
Simplificando:
w = ( -32raiz17, 8raiz17, -raiz17 )

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são:
u = (-4, 1, 8)
v = ( 9raiz17, 36raiz17, 0 )
w = ( -32raiz17, 8raiz17, -raiz17 )

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