A área do piso de uma loja retangular é 54 m^{2}. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma loja retangular cujo piso tem área 54\ m ^2. As quatro paredes têm altura igual (digamos h), três são de tijolos e a da frente é de vidro. O custo do vidro por metro quadrado é o dobro do custo do tijolo. Queremos escolher as dimensões da base (x,y) de modo a minimizar o custo total das paredes. Vamos usar otimização com restrição de área.

Passo 2

Definimos: \;x= largura da loja (a parede da frente e a de trás), \;y= profundidade da loja (as paredes laterais),
a área do piso impõe
xy = 54.
Seja c o custo por m ^2 da parede de tijolos; o vidro custa 2c por m ^2.

Passo 3

Calculamos o custo total C.
Área de tijolos = parede de trás \bigl(hx\bigr) +2 laterais \bigl(2\,h\,y\bigr).
Área de vidro = parede da frente \bigl(hx\bigr).
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C = c\bigl(hx + 2\,h\,y\bigr) \;+\; 2c\bigl(hx\bigr) = c\,h\bigl(x + 2y + 2x\bigr) = c\,h\bigl(3x + 2y\bigr).
Como c e h são constantes, basta minimizar
f(x,y) = 3x + 2y
sujeito a xy=54.

Passo 4

Usamos a restrição para eliminar y:
y = \frac{54}{x} \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 3x + 2\,\frac{54}{x} = 3x + \frac{108}{x}.
Para achar o mínimo, derivamos em relação a x e igualamos a zero:
f'(x) = 3 \;-\;\frac{108}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 = \frac{108}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad x = 6\\ (\text{escolhemos }x>0).

Passo 5

Substituindo x=6 em y=54/x:
y = \frac{54}{6} = 9.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são 6 m de largura (frente) e 9 m de profundidade.

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