A área do piso de uma loja retangular é
. De suas quatro paredes de mesma altura, as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma loja retangular cujo piso tem área
\ m
. As quatro paredes têm altura igual (digamos
), três são de tijolos e a da frente é de vidro. O custo do vidro por metro quadrado é o dobro do custo do tijolo. Queremos escolher as dimensões da base
de modo a minimizar o custo total das paredes. Vamos usar otimização com restrição de área.
Passo 2
Definimos:
= largura da loja (a parede da frente e a de trás),
= profundidade da loja (as paredes laterais),
a área do piso impõe
a área do piso impõe
Seja
o custo por m
da parede de tijolos; o vidro custa
por m
.
Passo 3
Calculamos o custo total
.
Área de tijolos = parede de trás laterais
.
Área de vidro = parede da frente .
Logo
Área de tijolos = parede de trás
Área de vidro = parede da frente
Logo
Como
e
são constantes, basta minimizar
sujeito a
.
Passo 4
Usamos a restrição para eliminar
:
Para achar o mínimo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo
em
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são 6 m de largura (frente) e 9 m de profundidade.