As margens de cima e de baixo de um cartão de visita têm 1 cm , e as margens laterais medem 2 c m. Se a área do material impresso sobre o cartão estiver fixa em 18 \mathrm{~cm}^{2}, encontre as dimensões do cartão com a menor área.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos as dimensões do cartão (largura W e altura H) de modo a minimizar sua área total, sabendo que as margens superior e inferior têm 1,cm cada e as margens laterais têm 2,cm cada, e que a área impressa (sem margens) é fixa em 18,cm ^2. O conteúdo principal é otimização de função sujeita a uma restrição de área.

Passo 2

Define-se
x = \text{largura da região impressa} = W - 2\cdot 2 = W - 4,ã
y = \text{altura da região impressa} = H - 2\cdot 1 = H - 2.ã
Como a área impressa é fixa em 18,cm ^2, temos a restrição
x\,y = 18 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{18}{x},
com x>0.

Passo 3

A área total do cartão é
A = W\cdot H = (x + 4)\,(y + 2).
Substituindo y = 18/x, obtemos
A(x) = (x + 4)\Bigl(\frac{18}{x} + 2\Bigr) = x\cdot\frac{18}{x} + 2x + 4\cdot\frac{18}{x} + 8 = 18 + 2x + \frac{72}{x} + 8 = 2x + \frac{72}{x} + 26.

Passo 4

Para minimizar A(x) em x>0, calcula-se a derivada:
A'(x) = 2 - \frac{72}{x^2}.
Igualando a zero para encontrar extremo:
2 - \frac{72}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad x = 6\\ (\text{descartamos }x=-6).
Verifica-se que A''(x)=\tfrac{144}{x^3}>0 para x>0, logo é mínimo.

Passo 5

Com x=6 temos
y = \frac{18}{x} = \frac{18}{6} = 3.
Então as dimensões do cartão são
W = x + 4 = 6 + 4 = 10\text{ cm}, \quad H = y + 2 = 3 + 2 = 5\text{ cm}.

Resposta

A largura do cartão deve ser 10,cm e a altura 5,cm.

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