As margens de cima e de baixo de um cartão de visita têm 1 cm , e as margens laterais medem
. Se a área do material impresso sobre o cartão estiver fixa em
, encontre as dimensões do cartão com a menor área.
Passo 1
O enunciado pede que determinemos as dimensões do cartão (largura
e altura
) de modo a minimizar sua área total, sabendo que as margens superior e inferior têm
,cm cada e as margens laterais têm
,cm cada, e que a área impressa (sem margens) é fixa em
,cm
. O conteúdo principal é otimização de função sujeita a uma restrição de área.
Passo 2
Define-se
Como a área impressa é fixa em
,cm
, temos a restrição
com
.
Passo 3
A área total do cartão é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Para minimizar
em
, calcula-se a derivada:
Igualando a zero para encontrar extremo:
Verifica-se que
para
, logo é mínimo.
Passo 5
Com
temos
Então as dimensões do cartão são
Resposta
A largura do cartão deve ser
,cm e a altura
,cm.