Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Iremos determinar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, sinais da primeira e da segunda derivadas, tabela de crescimento/decrescimento e concavidade, e por fim esboçar o gráfico com eventuais pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 2
Domínio: como o denominador não pode ser zero,
logo o domínio é
Paridade:
portanto
é função par.
Passo 3
Raízes
: basta zerar o numerador,
Interseção com o eixo
: ocorre em
, mas
domínio, logo não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Assíntotas:
- Vertical em
, pois . - Horizontal em
, pois
Passo 5
Primeira derivada:
Análise do sinal de
:
Logo
é crescente em
e decrescente em
. Não há pontos críticos internos onde
.
Passo 6
Segunda derivada:
Portanto
é estritamente côncava para cima em todo o domínio e não possui ponto de inflexão.
Passo 7
Tabela resumida:
Passo 8
Gráfico e pontos notáveis:
- Em
, (assíntota vertical). - Passa por
e . - Para
, aproxima-se de (assíntota horizontal). - Em
é crescente, em é decrescente, sempre côncava para cima.
Não há máximos ou mínimos locais finitos (já que não há pontos críticos) nem pontos de inflexão.
Resposta
Domínio:
.
Paridade: par.
Raízes: .
Sem interseção com o eixo .
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Monotonia: crescente em , decrescente em
.
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.
Sem máximos, mínimos ou inflexões finitos.
Gráfico: duas ramos simétricos, cada um decai de em
até cruzar o eixo em
e aproximar-se de
em
.
Paridade: par.
Raízes:
Sem interseção com o eixo
Assíntotas: vertical
Monotonia: crescente em
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.
Sem máximos, mínimos ou inflexões finitos.
Gráfico: duas ramos simétricos, cada um decai de