Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{9-x^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{9 - x^{2}}{x^{2}}
Iremos determinar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, sinais da primeira e da segunda derivadas, tabela de crescimento/decrescimento e concavidade, e por fim esboçar o gráfico com eventuais pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Passo 2

Domínio: como o denominador não pode ser zero,
x^{2}\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,
logo o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).
Paridade:
f(-x)=\frac{9-(-x)^{2}}{(-x)^{2}}=\frac{9-x^{2}}{x^{2}}=f(x),
portanto f é função par.

Passo 3

Raízes f(x)=0: basta zerar o numerador,
9 - x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 3.
Interseção com o eixo y: ocorre em x=0, mas 0\notin domínio, logo não há interseção com o eixo y.

Passo 4

Assíntotas:
  1. Vertical em x=0, pois \lim_{x\to0^\pm}f(x)=+\infty.
  2. Horizontal em y=-1, pois
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\frac{9}{x^{2}}-1\Bigr)=-1.

Passo 5

Primeira derivada:
f(x)=9x^{-2}-1,\quad f'(x)=-18x^{-3}=-\frac{18}{x^{3}}.
Análise do sinal de f':
-\frac{18}{x^{3}}>0\;\Longleftrightarrow\;x^{3}<0\;\Longleftrightarrow\;x<0.
Logo f é crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty). Não há pontos críticos internos onde f'(x)=0.

Passo 6

Segunda derivada:
f'(x)=-18x^{-3},\quad f''(x)=54x^{-4}=\frac{54}{x^{4}}>0\quad\forall x\neq0.
Portanto f é estritamente côncava para cima em todo o domínio e não possui ponto de inflexão.

Passo 7

Tabela resumida:
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & (-\infty,-3) & (-3,0) & (0,3) & (3,\infty)\\hline f(x)\; \text{sinal} & - & + & + & -\\hline f'(x)\; \text{sinal} & +\;(\text{cresc.}) & +\;(\text{cresc.}) & -\;(\text{decres.}) & -\;(\text{decres.})\\hline f''(x)\; \text{sinal} & +\;(\text{conc.v.}) & +\;(\text{conc.v.}) & +\;(\text{conc.v.}) & +\;(\text{conc.v.}) \end{array}

Passo 8

Gráfico e pontos notáveis:
  • Em x\to0^\pm, f(x)\to+\infty (assíntota vertical).
  • Passa por (-3,0) e (3,0).
  • Para x\to\pm\infty, aproxima-se de y=-1 (assíntota horizontal).
  • Em (-\infty,0) é crescente, em (0,\infty) é decrescente, sempre côncava para cima.
    Não há máximos ou mínimos locais finitos (já que não há pontos críticos) nem pontos de inflexão.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Paridade: par.
Raízes: x=\pm3.
Sem interseção com o eixo y.
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=-1.
Monotonia: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty).
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.
Sem máximos, mínimos ou inflexões finitos.
Gráfico: duas ramos simétricos, cada um decai de +\infty em x\to0 até cruzar o eixo em x=\pm3 e aproximar-se de -1 em x\to\pm\infty.

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