Um barco passa por um ponto A no rio às 2 horas da tarde e viaja na direção sul a uma velocidade de 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Outro barco viajando na direção leste a 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h} passa pelo mesmo ponto às 3 horas da tarde. Em que momento os dois barcos estavam mais próximos um do outro?

Passo 1

Resumindo o enunciado: um barco A passa pelo ponto A às 14 h e segue rumo ao sul com velocidade de 20,km/h, e outro barco B passa pelo mesmo ponto às 15 h indo para leste a 10,km/h. O conteúdo é cinemática vetorial e otimização: vamos colocar um sistema de coordenadas no ponto A, escrever as posições dos barcos em função do tempo e minimizar a distância entre eles.

Passo 2

Definimos t em horas contadas a partir das 14 h ( t=0 em 14 h).
O barco A parte de (0,0) e vai para sul (eixo y negativo) a 20,km/h, então
\vec A(t) = \bigl(0,\,-20\,t\bigr).
O barco B já vinha de oeste e cruza o ponto A em t=1 (15 h), viajando para leste a 10,km/h; assim seu x é 10(t-1) e y=0:
\vec B(t) = \bigl(10\,(t-1),\,0\bigr).

Passo 3

A distância entre A e B no instante t é
d(t) = \|\vec A(t)-\vec B(t)\| =\sqrt{\bigl[10\,(t-1)\bigr]^{2} + \bigl(-20\,t\bigr]^{2}}.
Para facilitar, estudamos a função
D(t)=d(t)^{2} =100\,(t-1)^{2}+400\,t^{2} =500\,t^{2}-200\,t+100.

Passo 4

Para encontrar o mínimo de D(t), derivamos e igualamos a zero:
D'(t)=1000\,t-200=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{200}{1000}=0{,}2\\ \text{h}.
Verificamos que D''(t)=1000>0, logo t=0{,}2 h é mínimo global. Em horas e minutos, 0{,}2 h =12 min depois das 14 h, ou seja, às 14:12.

Resposta

Os barcos estavam mais próximos às 14:12.

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