Um barco passa por um ponto
no rio às 2 horas da tarde e viaja na direção sul a uma velocidade de
. Outro barco viajando na direção leste a
passa pelo mesmo ponto às 3 horas da tarde. Em que momento os dois barcos estavam mais próximos um do outro?
Passo 1
Resumindo o enunciado: um barco
passa pelo ponto
às 14 h e segue rumo ao sul com velocidade de
,km/h, e outro barco
passa pelo mesmo ponto às 15 h indo para leste a
,km/h. O conteúdo é cinemática vetorial e otimização: vamos colocar um sistema de coordenadas no ponto
, escrever as posições dos barcos em função do tempo e minimizar a distância entre eles.
Passo 2
Definimos
em horas contadas a partir das 14 h (
em 14 h).
O barco parte de
e vai para sul (eixo
negativo) a
,km/h, então
O barco
O barco
já vinha de oeste e cruza o ponto
em
(15 h), viajando para leste a
,km/h; assim seu
é
e
:
Passo 3
A distância entre
e
no instante
é
Para facilitar, estudamos a função
Passo 4
Para encontrar o mínimo de
, derivamos e igualamos a zero:
Verificamos que
, logo
h é mínimo global. Em horas e minutos,
h
min depois das 14 h, ou seja, às 14:12.
Resposta
Os barcos estavam mais próximos às 14:12.