A área, no plano x y, da região delimitada pelas curvas y=9-x^{2}, y=0 e x=0 no primeiro quadrante é igual a
(A) 24 .
(B) 9 .
(C) 6.
(D) 12 .
(E) 18 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por
\,y = 9 - x^2, \,y = 0 e \,x = 0.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração definida, pois a região está abaixo de uma curva e acima do eixo x.

Passo 2

Primeiro encontramos onde a parábola cruza o eixo x, isto é, resolvemos
9 - x^2 = 0.
Isso dá x^2 = 9 e, no primeiro quadrante, x = 3. Logo, x varia de 0 a 3.

Passo 3

A área A da região é a integral da função de cima ( 9 - x^2) menos a de baixo ( 0) no intervalo de 0 a 3:
A = \int_{0}^{3} \bigl(9 - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos o antiderivado de 9 - x^2:
\int \bigl(9 - x^2\bigr)\,dx = 9x - \frac{x^3}{3} + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 3:
A = \Bigl[9x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(9\cdot3 - \tfrac{3^3}{3}\bigr) - \bigl(0 - 0\bigr) = 27 - 9 = 18.

Resposta

(E) 18

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