Se C é a curva \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq \pi, então
\int_{C}\left(x^{100}, y^{100}\right) \cdot d \vec{r}
é igual a
(A) \frac{1}{101}.
(B) 0 .
(C) \frac{2}{101}.
(D) -\frac{1}{101}.
(E) -\frac{2}{101}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}(x^{100},y^{100})\cdot d\vec r
sobre a curva C dada por \vec r(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le\pi.
Para resolver, vamos parametrizar, calcular d\vec r, formar o produto escalar e depois integrar em t.

Passo 2

Da parametrização \vec r(t)=(\cos t,\sin t) segue
d\vec r=(\,-\sin t,\;\cos t\,)dt.
O produto escalar é
(x^{100},y^{100})\cdot d\vec r =(\cos^{100}t)(-\sin t)\,dt+(\sin^{100}t)(\cos t)\,dt.
Logo
I=\int_{0}^{\pi}\bigl[-\cos^{100}t\,\sin t+\sin^{100}t\,\cos t\bigr]dt.

Passo 3

Primeiro termo:
-\!\int_{0}^{\pi}\cos^{100}t\,\sin t\,dt.
Use u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Com t=0\Rightarrow u=1 e t=\pi\Rightarrow u=-1, fica
-\!\int_{0}^{\pi}\cos^{100}t\,\sin t\,dt =\int_{1}^{-1}u^{100}du =-\int_{-1}^{1}u^{100}du =-\frac{2}{101}.

Passo 4

Segundo termo:
\int_{0}^{\pi}\sin^{100}t\,\cos t\,dt.
Use v=\sin t, dv=\cos t\,dt. Com t=0\Rightarrow v=0 e t=\pi\Rightarrow v=0, fica
\int_{0}^{\pi}\sin^{100}t\,\cos t\,dt =\int_{0}^{0}v^{100}dv =0.

Passo 5

Somando as duas partes:
I=-\frac{2}{101}+0=-\frac{2}{101}.
Isso corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) -\tfrac{2}{101}

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