Considere o espaço amostral \Omega=[-1,1] com a densidade de probabilidade p(x)=\frac{3\left(x^{2}+x+1\right)}{8}. A média da distribuição é igual a
(A) \frac{1}{4}.
(B) \frac{1}{2}.
(C) 0 .
(D) -\frac{1}{4}.
(E) -\frac{1}{2}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral \Omega=[-1,1] e a densidade
p(x)=\frac{3\bigl(x^2+x+1\bigr)}{8}
e pede a média \mathbb{E}[X]. Para isso, vamos usar a definição de esperança de variável contínua.

Passo 2

Pela definição,
\mathbb{E}[X]=\int_{-1}^{1}x\,p(x)\,dx.

Passo 3

Substituindo p(x):
\mathbb{E}[X] =\int_{-1}^{1}x\cdot\frac{3\bigl(x^2+x+1\bigr)}{8}\,dx =\frac{3}{8}\int_{-1}^{1}\bigl(x^3+x^2+x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular separadamente:
\int_{-1}^{1}x^3\,dx=0,
\int_{-1}^{1}x^2\,dx=\tfrac{2}{3},
\int_{-1}^{1}x\,dx=0.

Passo 5

Logo,
\mathbb{E}[X] =\frac{3}{8}\Bigl(0+\tfrac{2}{3}+0\Bigr) =\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{4}.

Passo 6

Entre as alternativas, corresponde à letra (A).

Resposta

(A) \tfrac{1}{4}

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