Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 pi cm^3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 raiz3 cm^2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm^2,
A) 18 raiz427
C) 36 raiz427
E) 45 raiz427
B) 27 raiz427
D) 108 raiz3

Passo 1

O enunciado dá um cilindro circular reto de volume 360pi,cm ^3 e uma pirâmide regular de base hexagonal inscrita na base do cilindro. A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e a área da base da pirâmide é 54raiz3,cm ^2. Queremos a área lateral da pirâmide. Para isso vamos usar:
– volume do cilindro Vrm cil = pi r^2 hc,
– área do hexágono regular Ab = tfrac3raiz32 a^2,
– relação entre o raio de circunscrição do hexágono e seu lado r = a,
– slant height da pirâmide l = raizhp^2 + (apotema do hexágono)^2á,
– área lateral da pirâmide AL = tfracP l2, onde P é o perímetro da base.

Passo 2

Da área da base hexagonal igual a 54raiz3 cm ^2 temos
54raiz3 ;=;3raiz32,a^2
que simplifica para
32,a^2 = 54 Longrightarrow a^2 = 36 Longrightarrow a = 6 cm

Passo 3

Em um hexágono regular inscrito em círculo, o raio de circunscrição é r=a. Logo o raio do cilindro é
r = 6 cm
Do volume do cilindro
pi r^2 hc = 360pi Longrightarrow 36,hc = 360 Longrightarrow hc = 10 cm
A altura da pirâmide é o dobro:
hp = 2,hc = 20 cm

Passo 4

A apotema do hexágono (distância do centro ao meio de um lado) vale
apotema = araiz32 = 6raiz32 = 3raiz3 cm
O slant height da pirâmide é
l = raizhp^2 + (apotema)^2 = raiz20^2 + (3raiz3)^2 = raiz400 + 27 = raiz427 cm

Passo 5

O perímetro da base hexagonal é P=6a=36 cm. Então a área lateral é
AL = P,l2 ;=; 36;raiz4272 ;=;18raiz427 cm^2

Resposta

18raiz427

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