1. Qual é a área da porção da superfície de equação 2 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante?

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície definida por 2x+2y+z=6 que fica no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0).
O conteúdo necessário é o cálculo de área de superfície suave via integral dupla, usando a fórmula
S=integral duplaDraiz1+l(zxr)^2+l(zyr)^2,dA,
onde z=z(x,y) e D é a projeção no plano xy.

Passo 2

Isolamos z na equação do plano:
z=6-2x-2y
Calculamos as derivadas parciais:
zx=partialpartial x(6-2x-2y)=-2, zy=partialpartial y(6-2x-2y)=-2
Logo o fator dentro da raiz fica
1+(zx)^2+(zy)^2=1+4+4=9 Longrightarrow raiz1+(zx)^2+(zy)^2=3

Passo 3

Precisamos descrever a região D no plano xy onde a superfície está acima de z=0. Da equação
z=6-2x-2y>=0
vem
2x+2y<=6 Longrightarrow x+y<=3,
com x>=0,;y>=0. Logo D é o triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (0,3).

Passo 4

Agora montamos a integral de área:
S=integral duplaD3,dA =3cdotÁrea(D) Á
A área de D é
Área(D)=12times3times3=92 Á
Portanto
S=3cdot92=272

Resposta

272

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