1. Calcule a integral da função f(x, y, z)=y+zt sobre a porção do plano z=2 - y, interna ao cilindro circular x^wed>= 2+y^wed>= 2=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaSf(x,y,z),dS
onde f(x,y,z)=y+z e S é a porção do plano
z=2 - y
contida no cilindro circular
x^2 + y^2 = 4
O conteúdo é integral de superfície de gráfico e vamos usar a fórmula para uma superfície dada por z=z(x,y).

Passo 2

Substituímos o valor de z no integrando, pois sobre S vale z=2-y. Assim
fl(x,y,2-yr)=y+(2-y)=2,
ou seja, o integrando torna-se constante igual a 2.

Passo 3

Para um gráfico z=z(x,y), o elemento de área é
dS=raiz1+l(zxr)^2+l(zyr)^2;dA
Aqui zx=0 e zy=-1, logo
dS=raiz1+0^2+(-1)^2;dA=raiz2;dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

O domínio de projeção D no plano xy é o disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=4
Assim a integral de superfície fica
integral duplaSf,dS =integral duplaD2;raiz2;dA =2raiz2integral duplaDdA

Passo 5

Em coordenadas polares, dA = r,dr,dtheta e r varia de 0 a 2, theta de 0 a 2pi. Então
integral duplaDdA =integral0^2pi!integral0^2r,dr,dtheta =integral0^2pil[tfracr^22r]0^2dtheta =integral0^2pi2,dtheta =4pi
Multiplicando por 2raiz2
2raiz2times4pi =8piraiz2

Resposta

8piraiz2

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