- Escreva, na ordem dydz, a integral dupla que fornece a área da região cilíndrica
, contida no primeiro octante entre os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever uma integral dupla na ordem
que calcula a área da região definida pelo cilindro
, situada no primeiro octante e limitada pelos planos
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e integrais múltiplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O cilindro
é um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo
. Como estamos no primeiro octante, isso significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, queremos configurar a integral dupla na ordem
. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
Passo 4
Começando pelo eixo
, sabemos que o cilindro está limitado entre
e
. Portanto,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Para determinar os limites de
, observamos que, para cada valor fixo de
,
varia de 0 até a projeção do cilindro no plano
. Como
, resolvendo para
temos
.
Passo 6
Entretanto, como estamos integrando na ordem
, precisamos expressar
em termos de
ou considerá-lo como uma constante durante a integração. Mas, como o cilindro não depende de
,
permanece como está, e nosso limite para
é de 0 até
.
Passo 7
Finalmente, integrando sobre
de 0 a 2 e
de 0 a
, temos a integral dupla na ordem
:
Resposta
A integral dupla na ordem
que fornece a área da região cilíndrica no primeiro octante entre os planos
e
é: