1. Escreva, na ordem dydz, a integral dupla que fornece a área da região cilíndrica x^wed>= 2+y^wed>= 2=1, contida no primeiro octante entre os planos z=0 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever uma integral dupla na ordem dy , dz que calcula a área da região definida pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 , situada no primeiro octante e limitada pelos planos z = 0 e z = 2 . Vamos usar conceitos de geometria analítica e integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O cilindro x^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo z . Como estamos no primeiro octante, isso significa que x , y e z são todos maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, queremos configurar a integral dupla na ordem dy , dz . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a z . Para isso, precisamos determinar os limites de integração para y e z .

Passo 4

Começando pelo eixo z , sabemos que o cilindro está limitado entre z = 0 e z = 2 . Portanto, z varia de 0 a 2.

Passo 5

Para determinar os limites de y , observamos que, para cada valor fixo de z , y varia de 0 até a projeção do cilindro no plano yx . Como x^2 + y^2 = 1 , resolvendo para y temos y = raiz1 - x^2 .

Passo 6

Entretanto, como estamos integrando na ordem dy , dz , precisamos expressar x em termos de z ou considerá-lo como uma constante durante a integração. Mas, como o cilindro não depende de z , x permanece como está, e nosso limite para y é de 0 até raiz1 - x^2 .

Passo 7

Finalmente, integrando sobre z de 0 a 2 e y de 0 a raiz1 - x^2 , temos a integral dupla na ordem dy , dz :
integralz=0^2 integraly=0^raiz1 - x^2 dy , dz

Resposta

A integral dupla na ordem dy , dz que fornece a área da região cilíndrica no primeiro octante entre os planos z = 0 e z = 2 é:
integralz=0^2 integraly=0^raiz1 - x^2 dy , dz

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