Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(1+y e^x y) i+(2 y+x e^x y) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial

é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que .
O conteúdo necessário é a condição de igualdade das derivadas cruzadas em (domínio simplesmente conexo) e a construção da função potencial por integração.

Passo 2

Checamos a condição de conservatividade, que exige
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Aqui
P(x,y)=1 + y e^xy Longrightarrow partial Ppartial y = e^xy + ycdot e^xycdot x = e^xy(1 + x y),
e
Q(x,y)=2y + x e^xy Longrightarrow partial Qpartial x = 0 + e^xy + xcdot e^xycdot y = e^xy(1 + x y)
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral l(1 + y e^xyr),dx = integral 1,dx + integral y e^xy,dx = x + e^xy + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora impomos que partial f/partial y = Q. Calculamos
partial fpartial y = partialpartial yl[x + e^xy + g(y)r] = x,e^xy + g'(y)
Devemos ter
x,e^xy + g'(y) = Q(x,y) = 2y + x e^xy Longrightarrow g'(y) = 2y

Passo 5

Integramos g'(y)=2y em relação a y:
g(y) = integral 2y,dy = y^2 + C
Podemos absorver a constante C na potencial geral, então tomamos C=0.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y) = x + e^xy + y^2,
pois aí nabla f = F.

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