Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que
.
O conteúdo necessário é a condição de igualdade das derivadas cruzadas em (domínio simplesmente conexo) e a construção da função potencial por integração.
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
O conteúdo necessário é a condição de igualdade das derivadas cruzadas em (domínio simplesmente conexo) e a construção da função potencial por integração.
Passo 2
Checamos a condição de conservatividade, que exige
Aqui
e
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para encontrar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora impomos que
. Calculamos
Devemos ter
Passo 5
Integramos
em relação a
:
Podemos absorver a constante
na potencial geral, então tomamos
.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é
pois aí
.