Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo em (que é simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar o teste do rotacional e, se der zero, integrar componentes para obter
.
e pede para verificar se ele é conservativo em
Passo 2
Denotando
calculamos as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
e
,
e
,
e
.
Passo 3
Como
,
e
,
o rotacional de é nulo em todo
. Logo
é conservativo.
o rotacional de
Passo 4
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Em seguida impomos
, isto é
logo
e
depende só de
. Finalmente, impondo
,
vem
. Assim
é constante.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.