Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^y+2 z(i+x j+2 x k)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=l(e^y+2z,,x,e^y+2z,,2x,e^y+2zr)
e pede para verificar se ele é conservativo em R^3 (que é simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f. Para isso vamos usar o teste do rotacional e, se der zero, integrar componentes para obter f.

Passo 2

Denotando
P(x,y,z)=e^y+2z, Q(x,y,z)=x,e^y+2z, R(x,y,z)=2x,e^y+2z,
calculamos as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
partial Ppartial y=e^y+2z e partial Qpartial x=e^y+2z,
partial Ppartial z=2e^y+2z e partial Rpartial x=2e^y+2z,
partial Qpartial z=2x,e^y+2z e partial Rpartial y=2x,e^y+2z.

Passo 3

Como
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
partial Ppartial z=partial Rpartial x e
partial Qpartial z=partial Rpartial y,
o rotacional de F é nulo em todo R^3. Logo F é conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=integral e^y+2z,dx = x,e^y+2z + g(y,z)
Em seguida impomos partial fpartial y=Q, isto é
partialpartial yl(x,e^y+2z+g(y,z)r) = x,e^y+2z + gy(y,z)stackrel!=x,e^y+2z,
logo gy(y,z)=0 e g depende só de z. Finalmente, impondo partial fpartial z=R,
partialpartial zl(x,e^y+2z+g(z)r) =2x,e^y+2z+g'(z)stackrel!=2x,e^y+2z,
vem g'(z)=0. Assim g é constante.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=x,e^y+2z+C,
onde C é constante arbitrária.

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