1. Extremos em uma circunferência Encontre os valores extremos de f(x, y)=x y sujeitos à restrição g(x, y)=x^{2}+y^{2}-10=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de f(x,y)=xy
sujeito à restrição g(x,y)=x^2+y^2-10=0,
ou seja, sobre a circunferência de raio \sqrt{10}.
O método mais direto é usar multiplicadores de Lagrange, pois ele nos dá um sistema para achar os candidatos a extremos condicionados.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\bigl(x^2+y^2-10\bigr).
As condições de estacionaridade são:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y-2\lambda x=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x-2\lambda y=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^2+y^2-10=0.

Passo 3

Das duas primeiras igualdades temos
y=2\lambda x \quad\text{e}\quad x=2\lambda y.
Se x\neq0 e y\neq0, multiplicando-as obtemos
y=2\lambda x \;\Rightarrow\; \lambda=\frac{y}{2x}, \quad x=2\lambda y \;\Rightarrow\; x=\frac{y^2}{x} \;\Rightarrow\; x^2=y^2 \;\Rightarrow\; y=\pm x.
Substituindo na restrição x^2+y^2=10
2x^2=10 \;\Rightarrow\; x^2=5 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{5}, \quad y=\pm x.

Passo 4

Os pontos críticos são (\sqrt{5},\sqrt{5}), (-\sqrt{5},-\sqrt{5}), (\sqrt{5},-\sqrt{5}) e (-\sqrt{5},\sqrt{5}).
Calculando f=xy em cada um:
f(\sqrt{5},\sqrt{5})=5, \quad f(-\sqrt{5},- \sqrt{5})=5, \quad f(\sqrt{5},- \sqrt{5})=-5, \quad f(-\sqrt{5},\sqrt{5})=-5.
Logo, o valor máximo de f é 5 e o mínimo é -5.

Resposta

Máximos: f=5 em (\sqrt{5},\sqrt{5}) e (-\sqrt{5},-\sqrt{5}).
Mínimos: f=-5 em (\sqrt{5},-\sqrt{5}) e (-\sqrt{5},\sqrt{5}).

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