Encontre os pontos na curva x^{2} y=2 mais próximos da origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva x^{2}y=2 que estão mais próximos da origem.
Aqui vamos usar otimização com restrição: minimize‐se a distância ao quadrado D(x,y)=x^{2}+y^{2} sujeita a x^{2}y=2. Podemos simplificar substituindo y pela restrição ou usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Usando a restrição, escrevemos
y=\frac{2}{x^{2}},
e definimos a função a minimizar em termos de x apenas:
D(x)=x^{2}+\biggl(\frac{2}{x^{2}}\biggr)^{2} =x^{2}+\frac{4}{x^{4}}.

Passo 3

Para achar extremos, calculamos a derivada de D(x) e igualamos a zero:
D'(x)=2x- \frac{16}{x^{5}} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{16}{x^{5}} \quad\Longrightarrow\quad x^{6}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 8^{1/6}=\pm\sqrt{2}.

Passo 4

Para cada solução de x, obtemos
y=\frac{2}{x^{2}}=\frac{2}{(\sqrt{2})^{2}}=1.
Verificamos que estes pontos realmente minimizam D.

Passo 5

Portanto, os pontos da curva mais próximos da origem são
\bigl(\sqrt{2},1\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-\sqrt{2},1\bigr).

Resposta

\bigl(\sqrt{2},1\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},1\bigr).

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