O valor da integral \int_{0}^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+1}}\right) d x é:
a) \sqrt{3}-1.
b) \sqrt{2}-1.
c) \sqrt{6}-1.
d) \sqrt{5}-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx
Isso é um problema de cálculo de primitiva envolvendo substituição simples, pois o radicando 2x+1 tem derivada proporcional a dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1
então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, temos u=2\cdot0+1=1.
Quando x=2, temos u=2\cdot2+1=5.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int_{x=0}^{x=2}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx = \int_{u=1}^{u=5}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

A primitiva de u^{-\tfrac12} é 2u^{\tfrac12}, logo
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[2u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{5} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{5} = \sqrt{5}-\sqrt{1} = \sqrt{5}-1.

Resposta

d) \sqrt{5}-1

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