Seja F(x) a primitiva de f(x)=x e^{x^{2}} tal que F(0)=0. O valor de F(\sqrt{\ln (3)}) é:
a) 0 .
b) 1 .
c) 3 / 2.
d) 1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x\,e^{x^2} e pede uma primitiva F(x) de f tal que F(0)=0. O conteúdo é integração de uma função composta e uso da condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para achar \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx, note que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}\bigr)=2x\,e^{x^2},
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x\,e^{x^2}=\tfrac12\bigl(2x\,e^{x^2}\bigr)
e uma primitiva geral é
F(x)=\tfrac12\,e^{x^2}+C.

Passo 3

Impondo F(0)=0 obtemos
F(0)=\tfrac12\,e^{0^2}+C=\tfrac12+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=-\tfrac12.
Portanto
F(x)=\tfrac12\,e^{x^2}-\tfrac12.

Passo 4

Avaliaremos em x=\sqrt{\ln(3)}. Como \bigl(\sqrt{\ln(3)}\bigr)^2=\ln(3), temos
F\bigl(\sqrt{\ln(3)}\bigr) =\tfrac12\,e^{\ln(3)}-\tfrac12 =\tfrac12\cdot3-\tfrac12 =\tfrac32-\tfrac12 =1.

Resposta

1

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