A área da região delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=x+6 é:
a) 1 .
b) 125 / 6.
c) 3 / 2.
d) 5 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que a parábola y = x^{2} fica abaixo da reta y = x + 6.
Isso é conteúdo de integrais definidas aplicadas a cálculo de área entre curvas: precisamos encontrar onde elas se cruzam e depois integrar a diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x^{2} \;=\; x + 6.
Reorganizando,
x^{2} - x - 6 = 0
que fatoriza em
(x - 3)(x + 2) = 0.
Logo, os cruzamentos ocorrem em x = -2 e em x = 3.

Passo 3

No intervalo de x=-2 a x=3, a reta y = x+6 está acima da parábola y = x^{2}.
Assim, a área pedida é
\int_{-2}^{3} \bigl[(x+6) - x^{2}\bigr] \,dx.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de x + 6 - x^{2}:
\int (x + 6 - x^{2})\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 6x - \frac{x^{3}}{3}.
Avaliando entre -2 e 3,
\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2} + 6x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{3} = \Bigl(\tfrac{9}{2} + 18 - 9\Bigr) - \Bigl(2 - 12 - \bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr)\Bigr) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{125}{6}.

Passo 5

A integral deu exatamente \tfrac{125}{6}, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) \displaystyle \frac{125}{6}

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