Dada f(x)=\frac{\ln (\sqrt{x+1})}{(x+1)^{2}}, o valor de f^{\prime}\left(e^{2}-1\right) é:
a) 1 .
b) 0 .
c) \frac{-3}{2 e^{4}}.
d) 1 / 2.

Passo 1

Resumindo o enunciado:
Temos a função
f(x)=\frac{\ln\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)}{(x+1)^{2}}
e queremos f'\bigl(e^{2}-1\bigr).
O conteúdo aqui é diferenciação de função que é produto/quociente envolvendo logaritmo e potência, e usaremos tanto a regra do quociente como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita de f(x). Note que
\ln\bigl(\sqrt{x+1}\bigr) =\ln\bigl((x+1)^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,\ln(x+1).
Logo podemos reescrever
f(x) =\frac{\tfrac12\,\ln(x+1)}{(x+1)^{2}} =\frac12\,\ln(x+1)\,(x+1)^{-2}.

Passo 3

Para derivar, seja
g(x)=\ln(x+1)\,(x+1)^{-2},
então
f(x)=\tfrac12\,g(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\tfrac12\,g'(x).
Agora, aplicando a regra do produto em g(x)=u(x)\,v(x) com
u(x)=\ln(x+1),\quad v(x)=(x+1)^{-2},
temos
u'(x)=\frac1{x+1}, \quad v'(x)=-2\,(x+1)^{-3}.
Portanto
g'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac1{x+1}\,(x+1)^{-2} \;+\;\ln(x+1)\,\bigl[-2\,(x+1)^{-3}\bigr]
\quad=\,(x+1)^{-3}\Bigl[1-2\ln(x+1)\Bigr].
Logo
f'(x) =\tfrac12\,(x+1)^{-3}\bigl[1-2\ln(x+1)\bigr].

Passo 4

Agora avaliamo em x=e^{2}-1. Observe que
x+1=e^{2}-1+1=e^{2}, \quad \ln(x+1)=\ln(e^{2})=2.
Substituindo em
f'(x) =\tfrac12\,(x+1)^{-3}\bigl[1-2\ln(x+1)\bigr]
vem
f'\bigl(e^{2}-1\bigr) =\tfrac12\,(e^{2})^{-3}\bigl[1-2\cdot2\bigr] =\tfrac12\,e^{-6}\bigl[1-4\bigr] =\tfrac12\,e^{-6}\,(-3) =-\frac{3}{2\,e^{6}}.

Resposta

A derivada correta é
f'\bigl(e^{2}-1\bigr) =-\frac{3}{2\,e^{6}},
que não coincide com nenhuma das alternativas oferecidas.

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