Seja F(x) a primitiva de f(x)=x e^{x^{2}} tal que F(0)=0. O valor de F(\sqrt{\ln (2)}) é:
a) 0 .
b) 1 .
c) 3 / 2.
d) 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva F(x) de f(x)=x e^{x^{2}} que satisfaz F(0)=0, e em seguida o valor de F\bigl(\sqrt{\ln(2)}\bigr). O conteúdo é integração de funções da forma x e^{x^{2}}, para o qual usamos a substituição u=x^{2} ou reconhecemos a derivada de e^{x^{2}}.

Passo 2

Calculamos a integral indefinida de f(x):
\int x e^{x^{2}}\,dx.
Fazendo u=x^{2}, vem du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac12\,du. Logo,
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}e^{u}+C = \tfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C.

Passo 3

Impondo a condição inicial F(0)=0, obtemos
F(0)=\tfrac12e^{0}+C=\tfrac12+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=-\tfrac12.
Portanto
F(x)=\tfrac12e^{x^{2}}-\tfrac12 =\tfrac12\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em x=\sqrt{\ln(2)}:
F\bigl(\sqrt{\ln(2)}\bigr) =\tfrac12\bigl(e^{(\sqrt{\ln(2)})^{2}}-1\bigr) =\tfrac12\bigl(e^{\ln(2)}-1\bigr) =\tfrac12(2-1) =\tfrac12.

Resposta

d) \tfrac12

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