O valor da integral \int_{0}^{1}\left(x^{3}-2 \sqrt[3]{x}+4\right) d x é:
a) 21 / 4.
b) 3 / 2.
c) 1 / 3.
d) 11 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-2\,\sqrt[3]{x}+4\bigr)\,dx.
O conteúdo é aplicação da regra de potência para integrais:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Calcular
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
Pela regra de potência,
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},
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\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Calcular
\int_{0}^{1} -2\,x^{\tfrac{1}{3}}\,dx.
Fatorando o -2:
\int_{0}^{1} -2\,x^{\tfrac13}\,dx = -2\int_{0}^{1} x^{\tfrac13}\,dx.
Como
\int x^{\tfrac13}\,dx = \frac{x^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}},
segue
-2\int_{0}^{1} x^{\tfrac13}\,dx = -2\left[\frac{x^{\tfrac{4}{3}}}{4/3}\right]_{0}^{1} = -2\cdot\frac{3}{4}\,(1-0) = -\frac{3}{2}.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{1} 4\,dx.
Aqui é integral constante:
\int 4\,dx = 4x,
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\int_{0}^{1}4\,dx = [4x]_{0}^{1} = 4.

Passo 5

Somando os resultados parciais:
\frac{1}{4} \;+\;\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)\;+\;4 = \frac{1}{4}-\frac{6}{4}+\frac{16}{4} = \frac{11}{4}.

Resposta

d) \tfrac{11}{4}

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