Dada f(x)=e^{x^{2}-4 x+4} \cos \left(\frac{\pi}{2} x\right), o valor de f^{\prime}(0) é:
a) \frac{\ln (2)}{4}.
b) 0 .
c) -4 e^{4}.
d) 4 e^{4}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x^{2}-4x+4}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)
e pede f'(0). Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a parte exponencial e a parte trigonométrica.

Passo 2

Escrevemos a derivada pela regra do produto:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(e^{x^{2}-4x+4}\Bigr)\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) +e^{x^{2}-4x+4}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\Bigr].

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)=2x-4,
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\frac{d}{dx}\Bigl(e^{x^{2}-4x+4}\Bigr) =e^{x^{2}-4x+4}\,(2x-4).
E
\frac{d}{dx}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\Bigr] =-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) =e^{x^{2}-4x+4}\,(2x-4)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) -e^{x^{2}-4x+4}\,\frac{\pi}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr).

Passo 5

Para x=0:
e^{0^{2}-4\cdot0+4}=e^{4},\quad \cos(0)=1,\quad \sin(0)=0.
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f'(0) =e^{4}\bigl((2\cdot0-4)\cdot1\bigr) -e^{4}\,\frac{\pi}{2}\cdot0 =-4e^{4}.

Resposta

c) -4e^{4}

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