A área da região delimitada por uma única pétala da rosácea dada em coordenadas polares por r=\cos (2 \theta) é:
(A) \pi / 2
(B) \pi / 4
(C) \pi / 8
(D) \pi / 16
(E) \pi
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado pede a área de uma pétala da rosácea em coordenadas polares dada por
r = \cos(2\theta).
O conteúdo usado será a fórmula da área em coordenadas polares:
A = \frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2\,d\theta.
Precisamos primeiro achar os limites \theta_1 e \theta_2 que descrevem uma única pétala, ou seja, onde r passa por zero.

Passo 2

Para encontrar onde começa e termina uma pétala, resolvemos
\cos(2\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}.
Uma pétala corresponde ao intervalo entre dois zeros consecutivos, por exemplo
\theta_1 = -\frac{\pi}{4}, \quad \theta_2 = \frac{\pi}{4}.
Logo
A = \frac12 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \bigl[\cos(2\theta)\bigr]^2 d\theta.

Passo 3

Usamos a identidade de redução
\cos^2(2\theta) = \frac{1+\cos(4\theta)}{2}.
Substituindo no integral,
A = \frac12 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1+\cos(4\theta)}{2}\,d\theta = \frac14 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos:
\int \bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)d\theta = \theta + \frac{\sin(4\theta)}{4}.
Avaliando de -\tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{4}:
\left[\theta + \frac{\sin(4\theta)}{4}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \left(\frac{\pi}{4}-\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\right) + \frac{1}{4}\bigl(\sin\pi - \sin(-\pi)\bigr) = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando por \tfrac14 temos
A = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8} (alternativa (C))

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