O lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) cuja distância ao plano \pi: y=5 é igual à sua distância até o ponto F=(0,1,0) é a quádrica:
(A) x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=4 (Esfera)
(B) x^{2}-8(y-3)+z^{2}=0 (Paraboloide de revolução)
(C) x^{2}+z^{2}=(y-3)^{2} (Cone de revolução)
(D) x^{2}+8(y-3)+z^{2}=0 (Paraboloide de revolução)
(E) x^{2}-(y-3)^{2}-z^{2}=4 (Hiperboloide)
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y,z) cuja distância ao plano \pi\colon y=5 é igual à sua distância ao ponto F=(0,1,0). Vamos usar a fórmula de distância ponto-plano e a fórmula de distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A fórmula da distância de P ao plano \pi\colon y=5 é
\frac{|0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z - 5|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = |y-5|.
A distância de P a F é
\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2 + z^2}.
Igualando essas duas distâncias, temos
(y-5)^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2.

Passo 3

Expandindo ambos os lados:
y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2.
Cancelando y^2 e reorganizando termos, obtemos
-\,x^2 - z^2 -8y +24 = 0.
Multiplicando por -1,
x^2 + z^2 +8y -24 = 0.

Passo 4

Escrevendo 8y -24 = 8(y-3), a equação fica
x^2 + z^2 +8(y-3) = 0,
que é um paraboloide de revolução e corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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