A superfície quádrica dada pela equação z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} é um:
(A) Paraboloide de revolução
(B) Elipsoide
(C) Cone de revolução
(D) Hiperboloide de uma folha
(E) Cilindro elíptico
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
z^{2} = 4x^{2} + 4y^{2}
e pede para identificá-la entre as opções (paraboloide de revolução, elipsoide, cone de revolução, etc.). Para isso, vamos usar a classificação de superfícies definidas por equações quadráticas, em particular observando se há termo constante ou se a forma é homogênea em x,y,z.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
z^{2} - 4x^{2} - 4y^{2} = 0.
Como não há termo constante nem termos lineares, é uma forma quadrática homogênea de grau 2. Superfícies definidas por
Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} = 0
com sinais mistos em A,B,C são cones (caso não degenerado em plano), pois passam pelo vértice na origem e se abrem em duas “nappes”.

Passo 3

Podemos ainda isolar z para ver a forma explícita:
z^{2} = 4\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad z = \pm 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isso mostra dois cones de revolução com eixo no z, vértice na origem e abertura constante.

Resposta

(C) Cone de revolução.

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