As coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) do ponto dado em coordenadas cartesianas por P= ( 1, \sqrt{3}, 2 ) são:
(A) (\sqrt{8}, \pi / 3, \pi / 4)
(B) (8, \pi / 6, \pi / 3)
(C) (\sqrt{8}, \pi / 4, \pi / 3)
(D) (2, \pi / 3, \pi / 2)
(E) (\sqrt{8}, \pi / 3, \pi / 6)
(F) Nenhuma das demais alternativas está correta.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,\sqrt{3},2) em coordenadas cartesianas e pede suas coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vamos usar a convenção em que
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi,
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\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \theta = \arctan\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),\quad \varphi = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr).

Passo 2

Calcular \rho:
\rho = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8}.

Passo 3

Calcular \theta. Como x=1>0,
\theta = \arctan\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \arctan\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{1}\Bigr) = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

Calcular \varphi:
\varphi = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr) = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{2}{\sqrt{8}}\Bigr) = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{2}{2\sqrt{2}}\Bigr) = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o que encontramos é
(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(\sqrt{8},\,\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{4}\Bigr),
que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) \bigl(\sqrt{8}, \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{\pi}{4}\bigr)

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