A área de uma região limitada D \subset \mathbb{R}^{2} é calculada por
\operatorname{Área}(D)=\iint_{D} 1 d A
Calcule a área de D quando:
D é a região limitada pela reta y=x-1 e a parábola y^{2}=2 x+6.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D em \mathbb{R}^2 limitada pela reta
y = x - 1
e pela parábola
y^2 = 2x + 6.
Como a fórmula geral é
\text{Área}(D)=\iint_{D}1\,dA,Á
vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas, depois decidir um método de integração (aqui escolhemos integrar em y), montar a integral iterada e finalmente calcular.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos x da reta na equação da parábola. Da reta vem
x = y + 1,
logo na parábola
y^2 = 2(y+1) + 6 = 2y + 8
temos
y^2 - 2y - 8 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática,
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2},
logo
y = 4 \quad\text{ou}\quad y = -2.
Substituindo em x = y + 1, obtemos os pontos (-1,-2) e (5,4).

Passo 3

Precisamos saber, para cada y entre -2 e 4, qual curva dá o limite esquerdo em x e qual dá o direito. Da parábola isolamos
x = \frac{y^2 - 6}{2},
e da reta já temos
x = y + 1.
Para ver qual é maior, basta testar um valor intermediário, por exemplo y=0: a parábola dá x=-3 e a reta dá x=1. Então em cada y\in[-2,4] o lado esquerdo é \tfrac{y^2-6}{2}
e o direito é y+1.

Passo 4

A área é
\int_{y=-2}^{4}\Bigl[(\text{direito}) - (\text{esquerdo})\Bigr]\,dy =\int_{-2}^{4}\Bigl[(y+1)-\tfrac{y^2-6}{2}\Bigr]dy.
Simplificando o integrando,
(y+1)-\frac{y^2-6}{2} = -\frac{y^2}{2} + y + 4.

Passo 5

Calculamos
\int_{-2}^{4}\Bigl(-\tfrac{y^2}{2} + y + 4\Bigr)dy =\Bigl[-\tfrac{y^3}{6} + \tfrac{y^2}{2} + 4y\Bigr]_{y=-2}^{4}.
No limite superior y=4:
-\frac{4^3}{6} + \frac{4^2}{2} + 4\cdot4 = -\frac{64}{6} + 8 + 16 = -\frac{32}{3} + 24 = \frac{40}{3}.
No limite inferior y=-2:
-\frac{(-2)^3}{6} + \frac{(-2)^2}{2} + 4\cdot(-2) = \frac{8}{6} + 2 - 8 = \frac{4}{3} - 6 = -\frac{14}{3}.
Subtraindo,
\frac{40}{3} - \bigl(-\tfrac{14}{3}\bigr) = \frac{54}{3} = 18.

Resposta

A área da região D é 18.

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