A área de uma região limitada
é calculada por
Calcule a área de
quando:
é a região limitada pela reta
e a parábola
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
em
limitada pela reta
e pela parábola
Como a fórmula geral é
vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas, depois decidir um método de integração (aqui escolhemos integrar em
), montar a integral iterada e finalmente calcular.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos
da reta na equação da parábola. Da reta vem
logo na parábola
temos
Resolvendo essa equação quadrática,
logo
Substituindo em
, obtemos os pontos
e
.
Passo 3
Precisamos saber, para cada
entre
e
, qual curva dá o limite esquerdo em
e qual dá o direito. Da parábola isolamos
e da reta já temos
Para ver qual é maior, basta testar um valor intermediário, por exemplo
: a parábola dá
e a reta dá
. Então em cada
o lado esquerdo é
e o direito é .
e o direito é
Passo 4
A área é
Simplificando o integrando,
Passo 5
Calculamos
No limite superior
:
No limite inferior
:
Subtraindo,
Resposta
A área da região
é
.