Desenhe a imagem:
m) F(t)=(\operatorname{sen} t, \operatorname{sen} t, \sqrt{2} \cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem do campo vetorial ou curva em \mathbb{R}^3 dado por
F(t) = (\sin t,\;\sin t,\;\sqrt{2}\,\cos t), \quad 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo envolve curvas paramétricas no espaço e a interpretação geométrica da forma da imagem.

Passo 2

Observamos que as duas primeiras coordenadas são iguais, isto é,
x = y = \sin t.
Logo, toda a curva está contida no plano
x - y = 0,
que é o plano que faz 45^\circ com os eixos x e y no espaço.

Passo 3

Dentro desse plano, podemos introduzir um eixo local u na direção de (1,1,0) e o eixo z usual. Note que
F(t) \;=\; \sin t\,(1,1,0) \;+\; \sqrt{2}\,\cos t\,(0,0,1).
Se projetarmos no sistema (u,z), temos
u = \sin t, \quad z = \sqrt{2}\,\cos t,
que é a equação paramétrica de uma elipse com semi-eixo 1 no eixo u e semi-eixo \sqrt{2} no eixo z.

Passo 4

Para desenhar:
  1. Desenhe o sistema de eixos x,y,z.
  2. Marque o plano x=y, inclinando-o 45^\circ em relação aos eixos x e y.
  3. Nesse plano, trace uma elipse cujo semi-eixo menor (length 1) está na direção (1,1,0) e cujo semi-eixo maior (length \sqrt{2}) está ao longo do eixo z.
  4. O parâmetro t faz a elipse ser percorrida uma vez, de t=0 a t=2\pi.

Passo 5

Na prática, o traçado fica assim:
  • Quando t=0, \sin0=0, \cos0=1, F(0)=(0,0,\sqrt{2}), o ponto mais alto da elipse.
  • Quando t=\pi/2, F(\pi/2)=(1,1,0), ponta direita no plano.
  • Quando t=\pi, F(\pi)=(0,0,-\sqrt{2}), ponto mais baixo.
  • Quando t=3\pi/2, F(3\pi/2)=(-1,-1,0), ponta esquerda.
    Conectando esses pontos suavemente dentro do plano x=y, obtemos a elipse.

Resposta

A imagem de F é uma elipse de semi-eixo 1 na direção (1,1,0) e semi-eixo \sqrt{2} na direção do eixo z, contida no plano x=y.

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