Encontre o volume do sólido E com base dada pelo retângulo R e altura dada pela função f quando:
R=[0,1] \times[0,1] e f(x, y)=y e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja base é o retângulo
R = [0,1]\times[0,1]
e cuja altura em cada ponto (x,y) é dada por
f(x,y) = y\,e^{x y}.
O conteúdo aqui é usar integral dupla para volume e, na prática, configurar uma integral iterada em x e y.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V = \iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1} y\,e^{x y}\,dx\,dy.

Passo 3

Para integrar em x tratamos y como constante:
\int_{0}^{1} y\,e^{x y}\,dx = y \int_{0}^{1} e^{x y}\,dx = y \biggl[\frac{1}{y}e^{x y}\biggr]_{x=0}^{x=1} = e^{y}-1.
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V = \int_{0}^{1} \bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1} \bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = \bigl[e^{y}-y\bigr]_{0}^{1} = \bigl(e-1\bigr)-\bigl(1-0\bigr) = e-2.

Resposta

e - 2

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