Calcule as seguintes integrais duplas
\int_{0}^{1} \int_{s}^{1} \sin \left(t^{2}\right) d t d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{s}^{1}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt\,ds.
O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e, em seguida, uma substituição simples.

Passo 2

Observamos que a região de integração em (s,t) é
0\le s\le 1,\quad s\le t\le 1,
isto é, o triângulo abaixo da reta t=1 acima de t=s. Aplicando Fubini e invertendo a ordem, obtemos
\int_{0}^{1}\int_{s}^{1}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt\,ds =\int_{t=0}^{1}\int_{s=0}^{t}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,ds\,dt.

Passo 3

Na integral interna em s, \sin\bigl(t^{2}\bigr) é constante em relação a s, logo
\int_{s=0}^{t}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,ds =\bigl[s\bigr]_{0}^{t}\,\sin\bigl(t^{2}\bigr) =t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Assim a integral passa a ser
\int_{0}^{1}t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{1}t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt, fazemos a substituição
u=t^{2},\quad du=2t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{2},
e os limites em u vão de 0 a 1.

Passo 5

A integral fica
\int_{0}^{1}t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du =\frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\frac{1-\cos(1)}{2}.

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